示例浅析一题多解在高中数学中的作用

应城市第二高级中学 李燕玲

【摘要】：一题多解就是广开思路,从不同角度去审视问题,使学生脑海中存储的大量信息被充分调动起来,从而找出不同的切入点和突破口.一题多解可以训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用,锻炼学生思维的发散性、广阔性、创造性、求异性、深刻性、灵活性和批判性，从而培养学生的思维品质.下面就从一道求最值问题看＂一题多解＂在高中数学中的作用.

【关键词】： 数学教学 一题多解 解题思路 拓宽

一题多解就是广开思路,从不同角度去审视问题,使学生脑海中存储的大量信息被充分调动起来,从而找出不同的切入点和突破口.一题多解可以训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用,锻炼学生思维的发散性、广阔性、创造性、求异性、深刻性、灵活性和批判性，从而培养学生的思维品质.下面就从一道求最值问题看＂一题多解＂在高中数学中的作用. 例：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋且1x91，求ｘ＋ｙ的最小值. y解法一：(“1”的灵活运用)

191xy19y9xxy(xy)()1016xyxyy9x当且仅当即x4,y12时，xy取最小值16.xy

111变式1、已知：a,b,cR,abc1,求证（1)(1)(1)8

abc111变式2、a,b,c是不等正数且abc1,求证abc

abc

解法二：（构造法）

19xy102由1得（x1)(y9)9 又（x1)(y9)() xy2可得9(xy102) 故xy16 2变式：已知x+xy+4y=5（x,y∈R＋）,求xy取值范围.

解法三：（将多元向一元化）

199由1得y9(x1)xyx199 所以xyx910x116x1x19(当且仅当x1即x4时,xy取最小值16.）x1

解法四：（判别式法）

199x由1得y(x1)xyx19xx28x令xyz,则zxx1x1得关于x的二次方程x2(8z)xz0z8(8z)24z可由△(8z)4z0且02解得z16，即xy的最小值为16.2

变式：已知2x+y=6,求的取值范围.

解法五：（三角换元法）

令19(cos)2,(sin)2,xy1x1y

2则xy(sec）＋（9csc)210(tan)29(cot)216a2b2变式：已知00,b>0，求的最小值.

x1x

方法六：（导数法）

令zxyx99(x1),则由z0，可得x4x1(在区间内有一个极值点，此极值必为最值)

故当x4时，xy取最小值16.由上例可看出一题多解有如下功能：

一、锻炼思维的发散性

所谓思维的发散性是指沿着不同的方向和不同的角度来思考同一问题，并且从多方面寻求多样性答案的展开性思维方式.发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。在数学教学中，如果能选择典型例题，巧妙地进行一题多解，这样既省力省时，起到了事半功倍的效果，同时又大大地培养了学生思维的发散性.

思维的发散性离不开同学们牢固的数学知识和解题经验，在解题时进行广泛的联系、迁移，有意识去全方位探讨，多角度思考.从而加深学生对知识的理解，丰富知识间的联系.

二、培养思维的广阔性

思维的广阔性是是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度，其相对的思维狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。在数学教学过程中，对于同一道例题，如果教师能正确引导学生全面地分析问题、多方位地思考问题、多角度地研究问题，并对该例题的、数量关系，几何特征，逻辑结构进行重新分析，作出更为广泛的联想，使用不同的处理方法进行一题多解，这样对于培养学生思维的广阔性有着重要的指导意义.

三、提高思维的灵活性

思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质.它是指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法.学生思维的灵活性主要表现于：（1）思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向.（2）思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径.（3）思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通.

总之，一题多解能较好的优化学生认知结构，激发学生智慧的火花，提高学生的思维品质。在教学中用好一题多解，能充分调动学生积极性，激发数学学习兴趣，让学生主动联系、建构，从而达到让学生巩固数学知识，训练思维，开拓视野的目的.