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刍议高中数学教学中的“多题一解”和“一题多解”
作者：沈俊
来源：《数学教学通讯·中等教育》2015年第02期
摘 要：“多题一解”与“一题多解”对于高中数学教学而言，应当是需要坚持的教学思路，因为其能够切实培养学生的思维能力，尤其是发散思维与收敛思维的能力，而且只要设计得当，其可以与宏观角度的自主合作等学习方式完美地结合起来. 关键词：高中数学，多题一解，一题多解
近年来，素质教育和新课改观念逐渐从一种理念变为现实，促进了教师教学思想的转变. 但是，应试教育和高考仍然是摆在高中生面前的“大山”，为了帮助学生取得好的成绩，在实际的教学过程中，大部分教师仍然采用填鸭式理论知识灌输以及题海战术，以期最大化提高学生的解题能力. 虽然这种方式能够让学生掌握大量题型，掌握数学知识、技能并灵活运用，但是这种方法也将学生的思维禁锢在一种特定的学习方法内，长此以往，学生会对数学学习产生厌烦感. 教师为了节省时间，每节课都是用来进行理论传授和习题训练，但是对学生的实际情况一无所知.
为了提高教学效率，发散学生思维，早就有人提出了“多题一解”和“一题多解”的教学思路，通过教师编制具有一定难度、梯度的习题，让学生阶梯性地提升自己的解题能力，同时针对一种题型进行变换，利用一种题型锻炼学生解决不同问题的数学能力，进而构建全面、完整的数学技能体系. 每一次变换，对学生来说都是新颖的，能够减少学生对数学“一成不变”的感觉，提高教学效率，改善教学效果. 近年来，由于受到自主探究等教学方式改革的冲击，这种传统的教学思路往往被遮掩了光芒，事实上，笔者以为，“多题一解”与“一题多解”对于高中数学教学而言，应当是需要坚持的教学思路，因为其能够切实培养学生的思维能力，尤其是发散思维与收敛思维的能力，而且只要设计得当，其可以与宏观角度的自主合作等学习方式完美地结合起来. 下面具体论述之：
[⇩] 启发探究视角下的“多题一解”和“一题多解”
在高中数学课堂教学中，如果教师能够引导学生自主探究，让学生运用所学数学知识解决问题，学生就能够获得一种成就感，激发他们的学习兴趣和主动性. 在这个方面，教师可以运用“多题一解”和“一题多解”教学方法，但是还要注意学生的学习热情、状态，保持师生之间的良好互动. 例如在“集合”的讲解中：
教师：如果集合A中包含n个元素，那么集合A的不同子集共有多少个呢？
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学生：可以利用归纳法，当n=3，2，1， 0时，分别有子集8，4，2，1个，因此集合A的不同子集共有2n个.
教师：正确，但是这种归纳不够严谨，因为我们无法穷举n∈[4，+∞）的其他情况，那么现在我们能否严格证明这道题的答案呢？假设集合A中包含n个元素，那么我们如何用数度量集合A的子集类型呢？
学生：可能包含1个、2个、3个…n个元素，因而子集类型共有n个. 教师：大家仔细想一想，有没有忽略某种特殊情形呢？ 学生： 也是子集的一种，因此子集类型共有n+1种. 教师：正确，那么每种类型分别对应几个A的子集呢？
学生：分别有C，C，…，C个，因此共有子集C+C+…+C=2n个.
教师：这个结论是正确的，那么我们来看一道题，同学们能够用所学结论得到这道题的答案吗？（运用“一题多解”引导学生自主得出结论，并运用到其他题目中，让学生感受到所学知识的用处.）
教师：一个房间内共有5个开关，分别控制5盏灯，假设必须至少开一盏灯，那么共有几种开关控制方法？
学生：共有C+C+…+C=31种.
教师：很好，那么如果有n个开关控制n盏灯，共有多少种情况呢？ 学生：共有2n-1种.
通过上述教学过程，可以体会到教师如何通过“多题一解”“一题多解”来进行变式探究，让学生学习到解决问题的技巧并直接运用到解题过程中，让学生感受成功的快乐，提高了教学效率.
[⇩] 问题解决视角下的“多题一解”和“一题多解”
问题解决视角下，教师通过设置例题，让学生掌握基本的解题方法和思路，教师要根据所学内容和学生的实际情况，选择合适的例题并进行变换，学生运用所学知识难以解答教师给出的问题，因而有迫切的学习欲望，教师讲解例题，让学生掌握解题技巧，然后给出变式，让学生运用所学技巧自主探究. 例如如下教学内容：
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教师：现在给出三道小题：（1）y=sinx如何通过变换得到y=2sinx，y=sin（x+1），y=sin2x？（2）y=sin2x如何通过变换得到y=sin（2x-1）？（3）y=sinx如何通过变换得到y=2sin（2x-1）？（学生很快得到第一小题的答案. ）
教师：同学们对第一小题比较熟悉，是我们常见的题型，但是同学们怎样解决第二题呢？ 学生甲：y=sin2x向右平移个单位可以得到y=sin（2x-1）的图像. 学生乙：应该是向右平移1个单位吧.
教师：两位同学的意见产生了分歧，那么同学们判断一下，这两位同学谁的答案是正确的呢？
学生：假设令sin2x=f（x），那么sin（2x-1）=f x-
，所以甲是正确的.
学生：运用五点作图法，可以证明甲的答案正确.
教师：很好，我们解决了第二题，那么对于第三题，同学们有什么想法呢？
学生：可以按照如下步骤变换：平移—周期变换—振幅变换—周期变换—平移，最后进行振幅变换即可.
教师：看来同学们掌握了函数图像的变换规律和方法，下面两道题留给同学们思考：（1）y=sinx如何通过变换得到y=sin（ωx+φ）？（2）y=sinωx如何通过变换得到y=sin（ωx+φ）？
[⇩] 思维发展视角下的“多题一解”和“一题多解”
与数学解题方法不同，数学解题思维一般具有模式化的特征，而培养学生的数学思维，能够让学生在解题时理解题目并直接调用已经掌握的知识解题，这就是我们说的一种解题“感觉”. 同样，教师可以通过“多题一解”和“一题多解”培养学生的数学思维. 例如在“三角函数”的教学中：
教师：我们学习了弦切转化的方法，那么同学们能够解决这个问题吗？设tanα=2，则的值为多少？
学生：已知tanα=2，因此=2，同时cos2α+sin2α=1，根据上述两式能够求出cosα和sinα，代入原式就能够得到答案.
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教师：很好，但是同学们还能够想到其他方法吗？（引导学生“一题多解”.） 学生：原式的分母和分子可以同时乘，得到=.
学生：也可以根据2cosα=sinα，代入原式可以得到答案.
教师：那么同学们能够根据得到的规律和结论解决这个问题吗？设tanα=2，则2sin2α-cosαsinα的值为多少？（引导学生运用“多题一解”解决问题.） 学生：可以运用平方关系解决，将原式转化为，得到结果为. [⇩] 课堂教学视角下的“多题一解”和一“题多解”
课堂是教学的主阵地，也是“多题一解”和“一题多解”教学意识渗透的主要场合. 下面主要谈新授课中的“多题一解”和“一题多解”.
新授课和传统教学模式不同，新课改环境下的教学模式为情境创设—问题探究—构建知识—应用知识—归纳总结. 下面以问题探究为例，探讨“多题一解”和“一题多解”的应用. 在“等比数列求和”一节的讲解中，可以这样设计教学：
教师：大家都知道国际象棋，国际象棋发明后，古印度宰相想要奖励发明者，就问他想要什么，他说：“我要在我发明的国际象棋棋盘的第一个格子放一粒小麦，第二个格子放两粒，以此类推，每一个格子麦子数量是上一个格子的两倍.”同学们，这个要求看起来很简单，那么你们能够计算出共需要多少麦子吗？ 学生：根据求和公式得S=1+2+...+263.
教师：可以用什么方法得到这个式子的结果呢？（引导“一题多解”.）
学生：可以提取公比q，原式可化为q（Sn-a1qn-1），解得a1-a1qn=Sn（1-q）. 学生：还可以运用错位相减的方法，可以得到两个式子： Snq=a1qn+a1qn-1+…+a1q； Sn=a1qn-1+a1qn-2+...+a1. 相减可得a1-a1qn=Sn（1-q）.
教师：那么能不能说结论就是a1-a1qn=Sn（1-q）呢？ 学生：不能，因为q不能等于1.
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教师：那么等比数列的求和公式是什么？ 学生：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=.
可以看到，教师利用“一题多解”培养学生的学习兴趣，让学生在教学过程中自然地接受知识，培养解题技能.
当然，讨论这一话题也不能回避复习课. 复习课重要但这两种思路的运用却相对比较常规，此处不赘述，只举一个例子来展示如何应用“一题多解”教学方法. 如：已知x，y>0，+=1，则xy的最小值是多少？
这道题可以运用不等式，得到+≥2，得xy≥8，当x=2且y=4时等号成立，故最小值为8；还可以运用“1”这个数字，根据题目条件，+=1，xy=2x+y≥2，解答原式变为解决上述不等式，可得xy≥8，当且仅当x=2且y=4时等号成立，故最小值为8.
“多题一解”培养的是学生的分析归纳能力，而“一题多解”培养的是学生的发散思维能力. 当教学的目标指向能力时，会发现这两种看似常规、简单的方法，其实是高中数学教学中培养学生能力的不二法门，笔者以为切不能因为某些新事物的到来而放弃其在高中数学教学中应有的地位.
