正余弦定理讲义

培优教育一对一辅导讲义

科目：＿数＿＿ 年级：＿＿高一＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 教师：＿＿＿＿ 时间：＿＿＿＿ 课题 授课时间： 正弦定理、余弦定理 备课时间： 1、 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2、 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 3、 会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解决有关实际问题，会运用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函数的最值，会由已知三件函数值求角 教学目标 重点、难点 1、三角函数值域及最值的求法 2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问题 高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判断、三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题。今后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来综合考查三角形知识，题型一般是选择题和填空题，也有可能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题 三角函数的综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几种类型： 1、可转化为yAsin(x)的形式，然后研究性质 考点及考试要求 2、可转化为yasinxbsinxc的形式，然后借助于二次函数求闭区间上的最值 3、与向量、三角形知识结合的综合题 4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题 教学内容 .

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探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？ abcab直角三角形中的正弦定理： sinA = sinB = sinC=1 即c=. ccsinAsinBsinC探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有CDasinBbsinA,则acabcab. 同理，（思考如何作高？），从而. sinAsinCsinAsinBsinCsinAsinB探究三：你能用其他方法证明吗？ C1.证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 a111S△ABC=absinCacsinBbcsinA. ObB222 两边同除以abc即得： 2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴同理 3．证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j 得….. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 12abc==. sinAsinBsinCAcDaaCD2R， sinAsinDbc=2R，＝2R. sinBsinCasinAbsinBcsinC=2R [理解定理] 1公式的变形： (1)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC (3)a:b:csinA:sinB:sinC 2.正弦定理的基本作用为： (2)sinA(4)abc,sinB,sinC,2R2R2Rabaccb,,sinAsinBsinAsinCsinCsinBbsinA； sinB①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到: ①ABC②sin(AB)sinC,cos(AB)sinC③Sabc 三、 教学例题： ab1absinC 2例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B. 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 .

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解： 例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C 解： 例3在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C 课后作业 abck,则k为( ) sinAsinBsinC1A2R BR C4R DR(R为△ABC外接圆半径) 21在△ABC中，2 在ABC中，已知角B45，c22,b43，则角A的值是( ) 3A.15 B.75 C.105 D.75或15 3、在△ABC中,若A30,B60,则a:b:c 4、在ABC中，若B60，b76,a14，则A= 。 5、在ABC中，已知a3,b2,B45，解三角形。 探究一．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况 .

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bsinA可进一步求出B； aasinC则C1800(AB) ，从而c sinA1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。 2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解； 3.如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若absinA，则有两解； （2）若absinA，则只有一解； （3）若absinA，则无解。 分析：先由sinB评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？ 三例题讲解 例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解 [随堂练习1] （1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在ABC中，若a1，c1，C400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x22） 例2.在ABC中,已知 .

abc,判断ABC的形状． cosAcosBcosC精品文档

[随堂练习2] 1.△ABC中， sinAsinBsinC ，则△ABC为（ A ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2. 已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。 答案： ABC是等腰或直角三角形 1.根据下列条件，判断解三角形的情况 222(1)、a14,b16,A45(2)、a12,c15,A120 (3)、a8,b16,A30(4)、b18,c20,B602.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= 226622A － B C － D 33333.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4根据条件解三角形：（1）c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.(3)a16,b163,A30,求角B，C和边c. (4)b13,a26,B30,解这个三角形。（5）b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b 3，B60，求a,A，C。5.设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA．(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围． 同步分层能力测试题（一） 一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在△ABC中， 若a=.

5,b=15,A=30,则边c= 。 0精品文档

2. 在△ABC中，已知A=45，B=60，c =1，则a= . 3. 在△ABC中， 已知a=5,b=12,c=13.最大内角为 度。 4. 在△ABC中，已知b=4,c=8,B=30.则a= 。 5. a,b,c是△ABC的三边，且B=1200,则a2+ac+c2-b2的值为 . 6．在△ABC中，若a=50，b=256 , A=45°则B= . 7.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④_______________. 8．在ABC中，a,b,c分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量C 的大小为 。 二．解答题(本大题共4小题，共54分) 9.在△ABC中，a=3，c=3 10.在ABC中， ⑴ 已知： acosB=bcosA ,试判断ABC形状; ⑵求证： （1）在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度. 12. 在△ABC中，已知角A、B、C对应的边分别为a、b、c，．且 C=2A．cos A=(1)求cosC和cosB的值； (2)当BA•BC2000abc. 其中恒成立的等式序号为sinAsinBsinCpac,b,qba,ca，若向量p//q，则角3，A=300，则角C及b. cos2Acos2B112222abab。 3 427时，求a、b、c的值． 2 余弦定理 ①a2＝b2＋c2－2bc·cosA，②b2＝c2＋a2－2ca·cosB，③c2＝a2＋b2－2ab·cosC. (4)余弦定理的变式 b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2cosA＝； cosB＝； cosC＝. 2bc2ca2ab.

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正余弦定理考点 考点一：利用正、余弦定理解三角形 在△ABC中， (1)若b＝2，c＝1，B＝45°，求a及C的值； (2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c. 知识概括、方法总结与易错点分析 1．已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断． 2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷． 3．三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 针对性练习 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC. 考点二： 利用正、余弦定理判断三角形形状 典型例题 △ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 知识概括、方法总结与易错点分析 依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法： 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形.

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的形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 针对性练习： 已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinB，试判断△ABC的形状． cosA＋cosB 考点三：三角形面积公式的应用 典型例题 已知△ABC中，cosA＝6，a，b，c分别是角A、B、C的对边． 3π22求tan2A； (2)若sin(＋B)＝，c＝22，求△ABC的面积． 23 知识概括、方法总结与易错点分析 1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求． 1112．在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和222正弦定理、余弦定理联系起来． 针对性练习： 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2a－c)cosB＝bcosC. (1)求角B的大小； (2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积． .

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考点四：正、余弦定理的综合应用 典型例题： 310在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的分别为a、b、c，且cos2A＝，sinB＝. 510(1)求A＋B的值； (2)若a－b＝2－1，求a、b、c的值． 知识概括、方法总结与易错点分析 (1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用． (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理． 针对性练习： A25→→1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，AB·AC＝3. 25(1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值． 2、设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且 sinA＝sin(＋B)sin(－B)＋sinB. 331）求角A的值； →→2）(2)若AB·AC＝12，a＝27，求b，c(其中b精品文档

(1)求边a的值； (2)求cos(A－B)的值． 5．(2010·辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． 16．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－. 4(1)求sinC的值； (2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长． 7、某人在山顶观察A、B两个目标，测得A在南偏西60°距山底1000米处，B在南偏东60°距山底800米处，求A、B之间的距离． 8、(2010·宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)． .

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9、 (2010·江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)该小组已测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？

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