(完整)判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法

如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1，在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明

A D 四边形DEBF是平行四边形。 E 分析：由于已知条件与对角线有关,故考虑运用“两条对角线互相平分的四边O F 形是平行四边形”进行判别。为此，需连接BD。 B C 图1

解:连接BD交AC于点O。

因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO—CF，即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形。

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平

A F E 行四边形，并说明理由。

分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得,故应

C D 考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判B 别。 图2 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1，AB=FC=1，

所以四边形ABCF是平行四边形.

同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形。 因为AE=DB=2，AB=DE=1，所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判D C 别 例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE,DF∥BE，

F 试说明四边形ABCD是平行四边形。 E 分析： 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形,但仔细观察可

B 知,由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边A 形所需的“一组对边图3 平行且相等\" 的条件.

解：因为DF∥BE,所以∠AFD=∠CEB。

因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE。又DF=BE， 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC,∠DAF=∠BCE， 所以AD∥BC。所以四边形ABCD是平行四边形。

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

F D 分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC,又题目中给出的A 是有关角的条件，借1 3 助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行

2 四边形\"进行判别. B E C 解：四边形AECF是平行四边形。 图4

理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠DAB=∠BCD，

11所以AF∥EC。又因为∠1=∠DAB，∠2=∠BCD，

22所以∠1=∠2.因为AD∥BC,所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE∥CF。 所以四边形AECF是平行四边形。

1

(完整)判定平行四边形的五种方法

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行;(2）证两组对边分别相等;(3）证一组对边平行且相等;（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等.下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

两组对边分别平行

如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边连结DE并延长至点F,使EF=AE，连结AF、BE和CF （1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由.

一、

B

A

F

BC、AC上，且CD=CE，

E

图1

D C 解:(1）选证△BDE≌△FEC

证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC,∠ACD=60°

∵CD=CE，∴BD=AE,△EDC是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE，∴BD=FE,∴△BDE≌△FEC （2)四边形ABDF是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF

∵四边形ABDF是平行四边形.

点评:当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。 二、 一组对边平行且相等

例2 已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F

(1)求证：△BCG≌△DCE；

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。 分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

2

(完整)判定平行四边形的五种方法

解：（1）∵ABCD是正方形,

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE,△BCG≌△DCE （2）∵△DCE绕D顺时针 旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′,∵CE=CG，∴CG=AE′， ∵四边形ABCD是正方形 ∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB—AE′=CD—CG，即BE′=DG ∴四边形DE′BG是平行四边形

点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形 三、 两组对边分别相等 例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE，等边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；

分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形 ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60° ∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA,BF=BC ∴△ABC≌△DBF ∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC ∴AB=EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。

四、 对角线互相平分

例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。

图4

分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD,

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(完整)判定平行四边形的五种方法

∴∠AEO=∠CGO，

∵∠AOE=∠COG，OA=OC

∴△AOE≌△COG,∴OE=OG

同理△BOF≌△DOH ∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。 五、 两组对角相等

例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗？理由 。

(1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由: 。

分析:因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。 解:（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°, ∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120° 又∠A=60°，∠C=60°， ∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C

（2）四边形ABC1D1是平行四边形,理由如下：

将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时,有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1 ∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1

∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1,∠BC1D1= ∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB 所以四边形ABC1D1是平行四边形 点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，∴∥CD，将

=AB

Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB=∥ C1D1，故ABC1D1是平行四边形。

判断平行四边形的策略

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(完整)判定平行四边形的五种方法

在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑: 一、考虑“对边”关系

思路1：证明两组对边分别相等

例1 如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE。求证:四边形ACEF是平行四边形. 证明:∵DE是BC的垂直平分线， ∴DF⊥BC，DB = DC.

∴∠FDB = ∠ACB = 90°. B 1∴DF∥AC 。∴CE = AE =AB。

F E 2D ∴∠1 = ∠2 。 3 又∵EF∥AC，AF = CE = AE ，

1 2 C A ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F。

∴△ACE≌△EFA. （图1） ∴AC = EF .

∴四边形ACEF是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行

例 2 已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F,使ED = DF = EB。 连结FC。

求证:四边形AEFC是平行四边形。 A 证明：∵AB＝AC，∴∠B =∠ACB. ∵ED = EB,∴∠B =∠EDB。 E ∴∠ACB =∠EDB. ∴EF∥AC。

C ∵E是AB的中点，∴BD = CD。 B D ∵∠EDB =∠FDC，ED = DF，

F ∴△EDB≌△FDC. ∴∠DEB =∠F.

∴AB∥CF.

∴四边形AEFC是平行四边形. 思路3：证明一组对边平行且相等

例3 如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F 分别是AB、CD上的点，AE = CF,M、N分别是DE、BF的中点.

求证：四边形ENFM是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD = BC,∠A =∠C .

又∵AE = CF,∴△ADE≌△CBF.

F D ∴∠1 =∠2，DE = BF 。 C 2 ∵M、N分别是DE、BF的中点， N M ∴EM = FN . 1 3∵DC∥AB，∴∠3 =∠2. A B E ∴∠1 =∠3。 ∴EM ∥FN .

∴四边形ENFM是平行四边形。

1 E

二、考虑“对角”关系

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4 (完整)判定平行四边形的五种方法

思路：证明两组对角分别相等 3 A D 例4 如图4，在正方形ABCD中，点E、 2 F分别是AD、BC的中点. F 求证：（1)△ABE≌△CDF； （图4） （2）四边形BFDE是平行四边形。

C = 证明：（1)在正方形ABCD中,AB = CD，AD = BC,∠A =∠C B 1190°，∵AE =AD，CF =BC，

22∴AE = CF。 ∴△ABE≌△CDF.

(2）由（1）△ABE≌△CDF知,∠1 =∠2,∠3 =∠4。 ∴∠BED =∠DFB.

∵在正方形ABCD中,∠ABC =∠ADC, ∴∠EBF =∠EDF.

∴四边形BFDE是平行四边形。 三、考虑“对角线”的关系 思路:证明两条对角线相互平分

例5 如图5，在平行四边形ABCD中， P1、P2是对角线BD的三等分点. 求证:四边形AP1CP2是平行四边形. 证明：连结AC交BD于O。

A ∵四边形ABCD是平行四边形， D ∴OA = OC，OB = OD. O P2 P1 ∵BP1 = DP2 ，∴OP1 = OP2 。 ∴四边形AP1CP2是平行四边B 形. C

（图5） 平行四边形的识别浅析

平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础.

识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点,而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下.

1利用定义或定理直接识别平行四边形

1。1两组对边分别平行，如图1，AB∥CD，AD∥BC。 1.2两组对边分别相等,如图1，AB=CD,AC=BC. 1.3两组对角分别相等，

如图1，∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD。

1.4一组对边平行且相等，如图1，AB∥CD,AB=CD。 1.5两条对角线互相平分,如图1,OA=OC,OB=OD。 2利用定义和定理间接识别平行四边形

2。1一组对边平行且一组对角相等，如图1，

DAAB∥CD,∠ABC=∠ADC.

证明：∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180° 又∵∠ABC=∠ADC

O∴∠ADC＋∠BCD＝180° ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对CB图1边分别平行）

2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, AB∥CD,OA=OC。

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(完整)判定平行四边形的五种方法

证明：∵AB∥CD ∴∠BAC=∠DCA 在⊿AOB和⊿COD中，∠BAC=∠DCA，OA=OC,∠AOB=∠COD ∴⊿AOB≌⊿COD（ASA） ∴AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）

2。3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角， 如图1,∠DAB+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°。

证明：∵∠DAB+∠ABC=180° ∴AD∥BC 又∵∠ABC+∠BCD=180° ∴AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行） 3不能识别为平行四边形

AD3.1两组不同的邻角互补，

如图2,∠A+∠B=180°， ∠C+∠D=180°,可以画出梯形。

C3。2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是B对边对角,涉及邻边邻D图2角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3， AB=AD，CB=CD，不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, ∠A=∠D,∠B=∠C，可以AACD画出等腰梯形.

B3。3一组对边平行且另一组对边相等，

BC图4图3如图4，AD∥BC，AB=CD，也可以画出等腰梯形。 3。4一组对边相等,一组对角相等，不一定是平行如图5:①作∠ABC，在边BA上确定点A，在边BC上确C作⊙O1,③以点C为圆心，以线段AB长为半径作⊙O1的等圆⊙O2，交⊙C于D、E两点，则四边形ABCD形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即3.5一组对边相等，对角线交点平分一条行四边形。反例作图方法，如图6：①作线段点O作直线CD,③过点B作BE⊥CD,垂足为小于线段OE的长为半径作⊙E，交CD于F、GCFE心，BF长为半径作⊙A,交直线CD于H、I两和四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBIB符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI

O1BCO2ADEAD G图5O图6HI四边形.反例作图方法,定点C，②过点A、B、⊙C,④以AC为弦作为平行四边形，而四边AB=CE,∠ABC=∠AEC。 对角线，不一定是平AB,②过线段AB的中E,④以点E为圆心，两点，⑤以点A为圆点，则四边形AGBH和四边形AHBF即为中，AI=BG，OA=OB。

说明一个四边形是平行四边形的思路

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(完整)判定平行四边形的五种方法

山东 于秀坤

平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形,一般可以根据题目中所给的条件,分别通过下列的思路进行说明．

一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形\"或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．

例1 如图1，在△ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E，EF//BC交AC于点F,试说明AE=CF．

图1

分析：由AD是角的平分线，可知∠1=∠2,由DE//AC,可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE=ED,要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC,因此,只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了．

解：因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3,所以AE=ED,

又因为DE//AC，EF//BC,所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形)． 所以ED=CF，所以AE=CF．

二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”． 例2 如图2，AE、CF分别是 ABCD 的内角∠DAB、∠BCD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形．

图2

解：在 ABCD 中，因为∠DAB=∠BCD，又因为∠1=

11∠DAB,∠2=∠BCD， 22所以，∠1=∠2，

因为AB//CD，所以∠3=∠1，∠4=∠2, 所以∠3=∠4,所以∠5=∠6，

所以四边形AECF是平行四边形．

三、当已知条件出现在四边形的对角线上时,考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形\" 例3 如图3，在□ABCD中，AC、BD相交于O,EF过O分别交AD、BC于E、F,GH过O分别AB、CD交于G、H．试说明四边形EGFH是平行四边形．

图3

解：在□ABCD中,因为AB//CD，所以∠1=∠2,

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(完整)判定平行四边形的五种方法

因为OA=OC,∠3=∠4，所以△AOG≌△COH，所以OG=OH， 同理OE=OF，

所以四边形EGFH是平行四边形．

构造平行四边形解题

山东 邹殿敏

平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等,对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．

一、求线段的长

例１如图1，在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点,且AP=CQ．今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于 cm．

分析:作QD//AB，交BC于点D，连接PD，MD．由△ABC为正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四边形APDQ为平行四边形．所以AMD是平行四边形APDQ的对角线．所以AD=2AM=2×19=38（cm）．由△ABD≌△CBP可得PC=AD．所以PC=38cm．

A Q M P E B C A D 二、证明线段相等问题 图2 EB=AD，连接AE．求证：AE=AC． B ABCD D 中， AD // C, AB=CD，延长CB到E例2 如图2,在梯形BC,使

图平行且相等，易知四边形1 分析：连接BD．由AD与BEAEBD是平行四边形，所以BD=AE．因为AC=BD，所

以AE=AC．

三、证明线段和差问题

例3 如图3,△ABC中，D，F是AB边上两点,且AD=BF,作DE//BC，FG//BC,分别交AC于点E,G．求证：DE+FG=BC．

分析:作GH//AB交BC于点H．则四边形BHGF是平行四边形．所以GH=BF=AD，FG=BH．因为DE//BC，GH//AB，所以∠1=∠C,∠A=∠2．所以△ADE≌△GHC．所以DE=HC．因为BH+CH =BC，所以DE+FG=BC．

A D 1 E F G 2 B H C 9

(完整)判定平行四边形的五种方法

A D G O B F C 四、证明线段倍分问题

例4 如图4，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE,分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF．试说明：AB=2OF． E 分析:连接BE．易知四边形ABEC为平行四边形．由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得图4 BF=CF，AO=OC，所以OF为△CAB的中位线，从而得出AB=2OF．

五、证明两直线平行问题

例5 如图5，△ABC中，E,F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D．求证：AB//CD．

分析：连接BD交AC于点O，连接BM，BN． 由AE=BE,AM=MN可得ED//BN；由BF=CF,MN=NC可得BM//FD．所以四边形BMDN是平行四边形．所以OB=OD，OM=ON．所以OA=OC．由此可得出四边形ABCD是平行四边形．所以AB//CD．

A D M E O N E F N 1 M A 3 H G 例6如图6，分别以△ABC的边AB,AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH,M为FH的中点．求

图6 证:MA⊥BC．

分析:设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N,使MN=AM，连接FN，HN．则四边形AHNF为平行四边形．所以FN=AH=AC，∠AFN+∠FAH=180°．因为∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC．因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC．所以∠1=∠2．

因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．

B F C 六、证明两直线垂直问题 图5 2 B D C 10