正弦定理余弦定理

年 级

数学 版 本 人教版大开本、3+x 期 数 2339

高一 编稿老师 梁文莉 审稿教师

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

§5.9正弦定理、余弦定理

目标：使学生明白得正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用运算器解决解斜三角形的运算问题。培养学生观看、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从专门到一样、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 重点、难点： 重点：

正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点：

（1）正弦定理、余弦定理的推导过程；

（2）应用正弦定理、余弦定明白得斜三角形。

［学法指导］

学习本节知识时可采纳向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的明白得和经历，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯独确定三角形，现在三角形可能显现两解、一解、无解三种情形，因此解此类三角形时，要注意讨论。

深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，明白其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其要紧作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一样地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。

b2c2a2a2c2b2a2b2c2 利用cosA ，cosB，cosC2bc2ac2ab 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】

例1. 在BC中，已知B30，b503，c150，解三角形并判断三角形的形状。 分析：已知两边及一边对角，可用正弦定理先求出c边的对角C，再用内角和定理求

出角A，然后用正弦定理求出边a。至于三角形的形状，用角或边均可判定。

cb 解：由正弦定理，得

sinCsinBc1503sin30 sinCsinB

b2503 cb，B30

C60或120

从而A180(6030)90或A180(12030)30

ca 由正弦定理，得

sinCsinAsinA ac

sinC1 当A90时，a1501003

321 当A30时，a2150503

32 由边（角）的关系易知

ABC是直角三角形或等腰三角形。

说明：

（1）三角形的形状既可按角分类，又可按边分类，因而判定三角形的形状，既可依角判定，又可依边判定。

（2）正弦定理实际上包含三个等式：

abbcca ，，sinAsinBsinBsinCsinCsinA 每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理能够用来解决两类解三角形的问题：已知两角和任一边，求其他两边和一角。（现在三角形的形状是确定的，故有唯独解）；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角（现在不能唯独确定三角形的形状，故要注意解的情形）。

例2. 在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a、c的长。

分析：先利用正弦定理及A＝2C可用a、c的代数式表示cosC，再利用余弦定理用a、c的代数式表示cosC，即可建立a、c的等量关系式，又a＋c＝8，解方程组即得a、c。

ac 解：，且A2C

sinAsinCac  sin2CsinCac 即 2sinCcosCsinCa cosC

2ca2b2c2 又cosC且b4

2aba2c216 cosC

8aaa2c216 (1)

2c8a 又ac8

a8c代入(1)式并整理得

5c236c0

16 c1，c24

5161624 当c时，a8 555 当c4时，a844

（A2C，ac，该组解不合题意，舍去）

2416 综上可知，a，c

55 说明：合理利用正、余弦定理及角的关系，寻求边的恒等关系，运用方程的思想是处理此类问题的关键。

例3. 依照下列所给条件，判定ΔABC的形状。

（1）acosAbcosB （2）abccosAcosBcosC

（3）(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB) 分析：将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判定。 解：（1）方法一：

acosAbcosB

b2c2a2a2c2b2 a b2bc2ac a4a2c2b2c2b40

即(a2b2)(c2a2b2)0 a2b20或c2a2b20

ab或c2a2b2

ABC是等腰三角形或直角三角形

abc 方法二：设k（显然k0），则

sinAsinBsinC aksinA，bksinB，cksinC acosAbcosB

ksinAcosAksinBcosB sin2Asin2B

2A2B或2A2B AB或AB2 ABC为等腰三角形或直角三角形 （2）方法一：

c2b2a2a2c2b2a2b2c2 cosA ，cosB，cosC2bc2ac2ababc 又 cosAcosBcosC2abc2abc2abc 2 cb2a2a2c2b2a2b2c2 c2b2a2a2c2b2a2b2c2

c2b2a2a2c2b2 即a2c2b2a2b2c2

222222cbaabc abc

ABC是等边三角形

abc 方法二：设k（显然k0），则

sinAsinBsinC aksinA，bksinB，cksinC

abc  cosAcosBcosCksinAksinBksinC  cosAcosBcosC tanAtanBtanC

A、B、C(0，)，ABC ABC为等边三角形

（3）方法一：

(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)

整理得b2[sin(AB)sin(AB)]a2[sin(AB)sin(AB)] 即b22sinAcosBa22sinBcosAb2sinAcosB 即21(2)

sinBcosAaabsinAa ，

sinAsinBsinBba2c2b2b2a (2)式等价于222ac1 22babca2bc 即a4b2c2a2c2b40

(1)

即(a2b2)(c2a2b2)0 a2b20或c2a2b20

ab或c2a2b2

ABC是等腰三角形或直角三角形

abc 方法二：设k（显然k0），则

sinAsinBsinC aksinA，bksinB，cksinC 代入(1)式得：

k2sin2B2sinAcosBk2sin2A2sinBcosA sinA0，sinB0，k20

2sinBcosB2sinAcosA sin2Bsin2A

A、B(0，)，22B或2A2B AB或AB2 ABC为等腰三角形或直角三角形

说明：

（1）已知某条件，要判定三角形形状，一样将条件转换成只含边或只含角的式子。 （2）由于三角形各边和它所对角的正弦比相等，故可设比值为一个值k，这时可使解题过程简化。

实际上，这一比值为三角形的外接圆直径2R，即

abc 2R

sinAsinBsinC 故正弦定理的形式也可写为：

a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 它在解决某些问题时可使解题过程简单化。

例4. 已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，

2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB成立，求BC面积S的最大值。

分析：观看已知等式的结构特点可知，先用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求cosC，得出角C后，利用正弦定理，将面积S表示为某角的三角函数形式，再求最值。 解：2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB (2R)2sin2A(2R)2sin2C(2ab)2RsinB 由正弦定理得a2c2(2ab)b 即a2b2c22ab

a2b2c22ab2 由余弦定理得cosC 2ab2ab2 0C，C S    4

12absinCab 2424R2sinAsinB 422R[cos(AB)cos(AB)] 2223R[cos(AB)cos] 24222R[cos(AB)] 22212R 2 当AB时，S有最大值 说明：

（1）本题由a2b2c22ab，联想余弦定理求出C4是解题的关键。

类似地，由a2b2c2ab，可得C 由a2b2c23ab，可得出C3；

6

熟记这些结论，能够快速解题。

（2）斜三角形的面积常采纳下面公式运算：

111 SabsinCbcsinAacsinB

222【模拟试题】

一. 选择题：

1. 在ABC中，a23，b22，B45，则A为（ ） A.60或120B.60C.30或150D.30

sinAcosB 2. 在C中，若，则B（ ）

ab A.30B.45C.60D.90

3. 在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（ ） A.60B.45C.120D.30



4. 在ABC中，则边|AC|等于（ ） |AB|1，|BC|2，(ABBC)(ABBC)523， A.5B.523C.523D.523

5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 6. 在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

7. 在ABC中，cosAcosBsinAsinB，则ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形

8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（ ） A. 52

B. 213

C. 16

D. 4

二. 填空题：

9. 在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________ 10. 在ABC中，化简bcosCccosB___________

11. 在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，则cosA___________

12. 在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC是_________

三. 解答题：

13. 已知在ABC中，A45，a2，c6，解此三角形。

14. 在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。

15. 已知ABC的外接圆半径是2，且满足条件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。 （1）求角C。

（2）求ABC面积的最大值。

【试题答案】

一. 选择题： 1. A 提示：aba3 ，sinAsinBsinAsinBb2 2. B

提示：由题意及正弦定理可得tanB1 3. C

提示：由余弦定理及已知可得cosA 4. D

2 提示：ACABBC，AC(ABBC)(ABBC)

2AC523

2|AC|AC5231 2 5. A

提示：长为6的边所对角最大，设它为

1625361 则cos0

2458 090

6. C

提示：由余弦定理可将原等式化为

b2c2a2a2c2b2 b a2bc2ac 即2b22a2，ab

7. C

提示：原不等式可变形为cos(AB)0 0AB，B(0，)

2 从而C(AB)( 8. B

提示：由题意得cos2，)

3或2（舍去） 5 三角形的另一边长5232253cos52213 二. 填空题：

9. 36126，12624 提示：absinAsin606，abbb sinAsinBsinBsin452 又ab12，a36126，b12624 10. a

a2b2c2a2c2b2 提示：利用余弦定理，得原式bca

2ab2ac1 8 提示：由正弦定理得a:b:c6:5:4

设1份为k，则a6k，b5k，c4k 11.

b2c2a21 再由余弦定理得cosA

2bc8 12. 钝角三角形

提示：由cosAsinB得sin( A、B均为锐角，2A)sinB

A(0，)，B(0，) 222 而ysinx在(0，)上是增函数 2 2AB

即AB2

C(AB)(2，)

三. 解答题：

13. 解：由正弦定理得：

sinCc623sinAa222

C60或120 当C60时，B180(AC)75

a262sinB31 sinA422 当C120时，B180(AC)15

ba262sinB31 sinA422 b31，C60，B75

b 或b31，C120，B15

14. 解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x 则有3x7x4x10x360 解得x15

A45，B105，C60，D150 连BD，在BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a BD3a

此时，DC2BD2BC2

BCD是以DC为斜边的直角三角形 CDB30

BDA15030120

13a2 2 在BD中，由正弦定理有： ABBDsinBDAsinA3a3232a

22232a 2 15. 解：（1）R2且22(sin2Asin2C)(ab)sinB AB的长为 (22)2(sin2Asin2C)(ab)22sinB 即(2R)2sin2A(2R)2sin2C(ab)2RsinB 由正弦定理知a2c2(ab)b 即a2b2c2ab

a2b2c2ab1 由余弦定理得cosC

2ab2ab2 C60

1 （2）SabsinC

21 2RsinA2RsinBsin60

232sinAsinB3[cos(AB)cos(AB)]

3[cos(18060)cos(AB)]13[cos(AB)]2

133 当A＝B时，S有最大值3(1)

22

年级 高一 学科 数学 版本 人教版大开本、3+X 分类索引描述 期数 2339 内容标题 正弦定理、余弦定理 分类索引号 G.623.3 主题词 录入

正弦定理、余弦定理 许咏梅 一校 康纪云 二校 王佳娣 编稿老师 梁文莉 学习资料 栏目名称 同步课堂 审稿老师 李欣生 审核