【完整版】吊梁的应力计算和优化设计

前 言

在一个现代化的企业中，CAD/CAM已经减少了不少设计者的负担，原来被视为CAD/CAM中配角的CAE(计算机辅助工程)已经不再是以前的可有可无了，现在已经是高品质设计中不可缺少的重要一环。CAE不仅可以减少CAM中制造实体模型的次数，还可以帮助设计者在CAD中合理建构几何实体模型。因此合理运用CAE可以缩短产品的开发时间，减少产品制造的成本。这也从一个侧面说明，在整体效益上看，CAD/CAE/CAM已经是不可分割的了，并且向集成化的方向发展是一个必然趋势。CAE可以使企业达到现代化的水准，即可以：

1、缩短设计所需的时间和降低设计成本。 2、在精确的分析结果下制造出品质优秀的产品。 3、对设计变更能快速做出反应。

4、能充分地与CAD集成并对不同类型的问题进行分析。 5、能准确地预测产品的性能。

目前在全球范围内的CAE软件产品是非常多的，如NASTRAN、PATRAN、COSMOS、ANSYS、ADINA、SAP、MARC、ASKA、RASNA、JIFEX(国产)等。在本次设计中采用了PATRAN和NASTRAN软件，通过本次设计充分了解了该两种软件，有助于以后的学习和工作，并在此设计阶段取得了可喜的成果。

吊梁作为常用的起重部件，在国民生产的各个行业被广泛应用，因此在其设计的好坏显得尤为重要。以往的人工计算精度低，而且有时达不到应有的强度要求，在实际的生产中，不仅不能使轻巧灵便，而且常常发生不应有的事故。

设计中由于使用的是大型通用程序，在对实际的情况进行简化时，利用它提供的大型齐备的单元库和截面库，方便快捷的进行建模，利用ASSOCIATE代替焊接和受力传递，使之成为一个整体相互关联的组件，利用约束条件来代替梁的另一半对称部分。在分析后期的数据处理阶段，又利用其方便的数据处理功能将数值大小转变成直观的变形图。整个过程操作简便，结论可靠，体现出使用CAE计算机设计的绝对优势。

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第一章 有限元法简介

§1.1 有限元法的基本概念及发展

有限元法最初是在50年代作为处理固体力学问题的方法出现的，近三、四十年来随着计算机的发展而逐渐发展成为用于各种结构分析的数值计算方法。有限元法是用来分析各种结构问题的强有力的工具，不论结构的几何形状和边界条件多么复杂，不论材料性质和外加载荷如何多变，使用有限元法均可获得满意的答案。有限元法的基本思想是运用离散的概念，把弹性连续体划分为若干有限单元组成的集合体，通过单元分析和组合，得到一组联立代数方程组，最后求得数值解。有限元法与其他数值方法相比，其突出优点，是可以用许多单元来逼近具有复杂边界和外载的大型连续域问题，并且能够获得较为精确的结果，影响有限元计算的关键是：

(1). 建立反映实际结构的计算模型。 (2). 确定结构载荷条件和边界条件。 (3). 选用合理的计算软件。

有限元法的发展借助于两个重要工具：在理论方面，采用了矩阵方法；在实际计算中，采用电子计算机。经过三十年的发展，有限元已经成为了一门日益成熟的学科，它又是一门正在发展中的学科，有无限广阔的前景，有很广泛的实用价值。有限元法最先应用于航空工程，现已迅速推广到机械与汽车、造船、建筑等各种工程技术领域，并从固体力学领域拓宽到流体、电磁学、振动等学科，几乎在所有工程问题上得到了发展与应用。

在工程技术领域研究的弹性连续体可以看作是由无限多个微元体组成，有限元离散化是假象把弹性连续体分隔成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特性、载荷特性、边界约束特性等，单元有各种类型。节点一般都在单元边界上，节点的位移分量是作为结构的基本位置量，这样组成的有限单元体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为有限多自由度的连续体，在此基础上对每一单元根据分块相似的思想，假设每一个简单的函数来近似模拟其位移分量的分布规律，即选择位移模式，再通过虚功原理求得每个单元得平衡方程就是建立单元节点力与节点位移之间的关系。最后，把所有的这些特性关系按照保持节点位移连续和节点力连续平衡的方式集合起来，就可以得到整个物体的平衡方程组，引入边界约束条件后，解此方程就求得节点位移，并计算出各单元应力。有限单元法的实质就是把具有无限多自由度的弹性连续体理想化为只有有限个自由度的单元几何体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。

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河北工业大学毕业论文 §1.2有限元求解问题的步骤

利用有限元法求解结构分析问题时，一般要经过以下几个步骤：

第一步，建立结构几何模型。几何模型应能准确描述结构的空间形状，并便

于以后单元及节点的划分。

第二步，对结构进行离散，即单元划分。

第三步，计算单元刚度矩阵和质量矩阵，并形成整体刚度矩阵和质量矩阵。 第四步，处理结构荷载及边界条件。

第五步，求解线形方程组，求得各节点的位移。 第六步，由节点位移求得应变和应力。

第七步，输出计算结果，绘制变形图，应力图，应变图及振型图等。 在本次设计中的主要工作集中在第一、二、四步中，其余的则是由有限元前处理PATRAN及分析软件NASTRAN自动完成的。

§1.3 有限元基本原理及公式

有限元法的实质是把具体有无限多个自由度的弹性连续提理想化成为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为合适于数值解法的结构型问题。其计算步骤包括起来分成以下七步： 1.3.1 弹性连续体的离散化

这是有限单元法的基础。所谓离散化就是将弹性体的区域分割成为有限个单元离散而成的有限单元结合体将代替原来的弹性连续体，所有的计算分析都将在这个计算模型上进行。因此，网格划分将关系到有限元分析的速度和精度，甚至计算的成败。

有限元离散化过程中的一个重要环结是单元类型的选择，这应根据被分析结构的几何形状特点，结合载荷、约束、计算精度的要求以及描述该问题所需的空间坐标的数目等全面考虑。除了杆单元外，平面问题常用的有简单三角形单元、轴对称三角形环单元、八节点任意四边形单元以及曲边形单元。空间问题常用的单元有四边形单元、长方体单元、任意六面体单元以及曲面六面体单元等。

选择确定单元类型后，接着要考虑单元的大小(即网格的疏密)。这根据精度的要求、计算的速度和容量来确定，通常在应力集中的部位以及应力变化比较剧烈处增加单元的密度，同时还要注意同意结构上的网格疏密、单元大小要有过度，避免大小悬殊的单元相邻。

1.3.2 选择单元位移模式

这是单元特性分析的第一步。在结构的离散化完成以后，为了能用节点位移表示单元的位移、应力和应变，在分析连续体问题时，必须对单元中的位移的分布做出一定的

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假设，也就是假设位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或位移函数。在有限元中，普遍地选择多项式作为位移模式，至于多项式的项数和阶数则要考虑到单元的自由度和有关解的收敛性的要求。一般多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包括常数项和线性项。

根据所选定的单元位移模式就可以导出用节点位移表示单元内任一点位移的关系式，因此它也决定了相应的位移插值函数，其矩阵形式为

{f}=[N]{δ}

e

e

e

e

(1.1)

式中{f}为单元内任一点的位移矩阵；{δ} 为单元的节点位移矩阵；[N]为形成函数矩阵，它的元素是位移的函数。

从这里可以看出，选择合适的位移函数是有限元分析的关键，它将决定有限元解答的性质与近似程度，所以它的选择应遵循一定的准则。 1.3.3 单元力学特性分析

在选择了单元类型和相应的位移模式后，就可以进行单元特性的分析，它包括下面三部分内容：

(1)用几何方程，由表达式(1.1)导出用节点位移表示应变的关系

{ε}=[B] {δ}

e

(1.2)

式中{ε}是单元内任一点的应变列阵；[B]成为应变矩阵。

(2)利用物理方程，由应变的表达式(1.2)导出用节点位移表示单元应力的关系

{ζ}=[D][B] {δ}=[S] {δ} (1.3)

式中{ζ}是单元内任一点的应力列阵；[D]适于材料相关的弹性矩阵；[S]称为应力矩阵。

(3)用虚功原理或变分法或其他方法建立各单元的刚度矩阵，既单元节点力与

节点位移之间的关系；其刚度方程为

{R}=[K]{δ} (1.4)

式中{R}是单元的节点力矩阵；[K]成为单元刚度矩阵，是单元节点位移和单元节点之间的转化矩阵。可以导出

[K]=

e

e

e

e

ee

e

[B][D][B]dxdydz (1.5)

T实际上，式(1.4)是一个线性代数方程组，它由若干个方程组组成，每个方程代表了在该单元范围内某一个节点在某个自由度上的平衡。

在以上三项中，导出单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容。 1.3.4 非节点载荷的位移

弹性体经过离散化之后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的。因此，这种作用在单元

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边界上的表面力以及作用在单元上的体积力、集中力等都需要等效移置到节点载荷矩阵，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。移置的方法是按照静力等效的原则，既原来作用在单元上的载荷与移置到节点上的等效载荷，在单元的任何需位移上所做的需功应相等。载荷作这样的变换会引起误差，但根据圣维南原理，这种误差是局部性的，对整体结构影响不大，而且随着单元的逐渐加密，这一影响会逐步减小。非节点载荷的位置的一般计算公式为：

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{P}[N]CQ[N]T{PV}dV[N]T{PA}dA (1.6)

vAeT式中[N]C是集中力{Q}作用点处的函数；{PV}和{PA}分别为作用在单元上的体积力和表面力。

1.3.5 整体分析，组集结构总刚度方程

整体分析的基础是依据所有相邻单元在公共点上的位移相同和在每个节点上的节点力和节点在和保持平衡这两个原则。它包括两个方面的内容：一是有各单元的刚度矩阵集合成整体结构的总刚度矩阵[K]；二是将作用于各单元的等效节点力集合成总的载荷矩阵{R}。这两项就组成了整体结构的总刚度矩阵方程，又称为结构平衡方程组

{R}=[K]{δ} (1.7)

式中{RI}={Qi}+∑{Pi}，其中{Qi}为节点i上的集中力；∑{Pi}为各元在节点i处的等效节点载荷的和。 1.3.6 约束处理并求总刚度方程

引进边界约束条件，修正总刚度方程后，消除总刚度矩阵的奇异性，就可求得节点位移。在线性平衡问题中，可以根据方程组的具体特点选择合适的计算方法。对于非线性的问题，则要通过一系列的步骤，逐步修正刚度矩阵和载荷矩阵，才能获得解答。 1.3.7 计算单元应力并整理计算结果

利用公式(1.3)和已经求出的节点位移计算结构上所有感兴趣部件上的应力，并绘出结构变形图及各种应力分量、应力组合的等值图。

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第二章 有限元分析软件NASTRAN

§2.1 MSC/NASTRAN

NASTRAN是美国MSC.Software Corporation公司的产品，1966年，美国国家宇航局(NASA)为了满足当地航空航天工业对结构分析的强迫要求主持开发大型应用有限元程序的招标，MSC公司因一举中标而参与了整个NASTRAN的开发过程。到今天，NASTRAN已成为各工业领域一直认可和推崇的世界CAE工业最全面、应用最广泛的大型通用结构有限元分析软件，也是国际合作和国际招标中工业工程分析和校验的有限元分析标准。

NASTRAN的分析功能概括了绝大多数工程应用领域，并为用户提供了方便的模块化功能悬想，它的主要分析功能如下所述：

1 静力分析，包括据有惯性释放的静力分析和非线性静力分析。 2 屈曲分析，包括线性屈曲分析和非线性屈曲分析。

3 动力学分析，包括正则模态分析、复特性分析、瞬态响应分析(时间—历程分析)、

随机震动分析、响应谱分析、频率响应分析。

4 非线性分析，包括几何非线性分析、材料非线性分析及边界条件非线性分析(接

触问题)。

5 热传导分析，包括线性/非线性稳态热传导分析、线性/非线性瞬态热传导分析、

相变分析和热控分析。

6 空气动力弹性及颤振分析，包括静动气弹性响应分析、启动颤振分析和气弹性

优化分析。

7 流体—固体耦合分析，包括流—固耦合法、水弹性流体单元法虚质量法三种求

解方法。

8 高级对称分析，包括对称分析、轴对称和高级循环对称分析。

9 多级超单元分析，主要是把整体结构分化成许多小的子部件来进行分析。 10 设计灵敏度及优化分析 11 复合材料分析

12 P单元及H、P、H—P自适应。

NASTRAN 除了其分析功能强大的优点外，还有开放式的结构，如图2.1所示。这主要表现了它为用户提供了其他同类程序所无法比拟的二次开发工具DMAP语言，这是它可以对特定的问题进行定制绑定，从而减少不必要的重复性劳动，降低对使用人员的技术水平要求，这也使它能得到广泛应用的原因之一。NASTRAN采用全模块式结构，用户可以更就自己需要才过不同的模块来最经济而有效的应用系统。

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图2-1 NASTRAN的开放式结构

§2.2 MSC/PATRAN

MSC/PATRAN最早也是由美国国家宇航局(NASA)倡导开发的，使工业领域最著名的基于并行工程的框架式有限元前后处理及集成分析系统，它的开放式、多功能的体系结构可将工程设计、工程分析、结构分析、用户化身和交互图形界面集与一身的构成一个完整的CAE集成环境，帮助产品开发商实现从设计到制造全过程的产品的性能仿真，它的主要特点包括以下几点： 2.2.1 实用性

MSC/PATRAN的用户界面即容易使用又方便记忆，那些新用户也可以很快成为熟练的使用者。

2.2.2 CAD模型的直接访问和集合建摸

MSC/PATRAN使用了直接集合访问技术(DGA)直接从一些世界先导的CAD/CAM系统中

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抓取几何模型，甚至参数和特征。此外它还提供了完善的几何建摸和编辑工具。 2.2.3 智能地模型处理

MSC/PATRAN容许用户直接在几何模型上设定载荷、边界条件、材料和单元特性，并地将这些信息自动转换成相关的有限元信息。 2.2.4 自动有限元建摸

MSC/PATRAN提供了自动网格及工业界最先进的映射网格划分功能，使用户能够快速地完成他们想做的工作。 2.2.5 完全的分析集成

将世界先导的不同类型的分析软件和技术与MSC/PATRAN集成在一个公共的环境中，使用户能够在最短的实际内根据多种类型的仿真结果对产品的整体设计给出正确的判断，提出相应的改进建议。 2.2.6 高级文档帮助

MSC/PATRAN提供了交互式的全文在线帮助系统，可使用户随时得到相关的电子文档帮助。

2.2.7 用户化技术

MSC/PATRAN命令语言(PCL)是MSC/PATRAN一个高级、模块化结构的编程语言和用户自定义工具，用户使用PCL语言和编程数据，可以吧自行开发的应用程序和针对特殊功能开发的内容直接嵌入MSC/PATRAN的框架系统，或单独使用或与其他系统联合使用，来提高市场竞争力。 2.2.8 结果可视化处理

MSC/PATRAN丰富的结果后处理功能可使用户直观的显示所有的分析结果，可以在产品投放市场前对产品性能进行认定，并可通过图形文件等方式进行文整理。

虽然NASTRAN和MSC/PATRAN正式进入中国工程界的时间不长，但由于其强大的功能与良好的兼容性，在CAD/CAE/CAM行业中以崭露头角。

§2.3 MSC/NASTRAN的优化功能

MSC/NASTRAN 的结构优化功能十分强大，包括内容很广，有尺寸参数优化、形状优化、拓扑优化等等。MSC/ANSTRAN软件的优化求解过程如下：

1. 对初始设计进行依次详细的有限元分析； 2. 计算所有的约束，屏蔽掉当前无效的约束； 3. 求有约束和目标函数的灵敏度；

4. 生成响应函数的显示近似，形成近似模型； 5. 对近似模型有改进的可行方向法寻优(内循环)； 6. 用内循环的优化结果更新设计变量；

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7. 对更新后的设计执行详细的有限元分析(外循环)； 8. 计算所有的约束；

9. 根据收敛准则判断是否收敛；

10.若不收敛则重复以上步骤，直到得到最优结果。 整个优化流程如图所示：

图2-2 MSC/NASTRAN优化设计流程 有限元分析 初始设计 改进的设计 结构相应分析 约束屏蔽 外循环 近似模型 内循环 优化模块 灵敏度分析 §2.4 几种有限元软件比较

美国加洲理工学院Paul M. McElroy博士对一些CAE软件进行了测试，仅供供参考。值得一提的是Paul M. McElroy博士是完全站在公正的、中立的立场上进行这项工作的，并且这些结果已经得了其它有关专家的进一步证实，目前已经成为国际公认的结论。测试这些结果的前提是：各种分析题目相对于每一种软件都具有相同数目的结点数、元素数和DOF，并从目前流行的有限元分析软件的测试结果中可以看出，COSMOS和NASTRAN的分析结果是很接近的，而ANSYS的误差要大一些，NASTRAN是通过牺牲速度来达到精度的，而ANSYS是通过放弃精确度和加大解题占用的磁盘时间来提高速度的。分析技术指标的平均值(当然某个领域的分析可能与这个平均值比会有一些出入)，COSMOS、

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NASTRAN、ANSYS解题速度比为1：16：9，解题占用的磁盘空间比为1：14：22。也就是说COSMOS解题的平均速度分别要比NASTRAN和ANSYS快16倍和9倍，而解题占用的磁盘空间分别减少14倍和22倍。从这些数字也可以看出COSMOS软件在有限元分析软件中是技高一筹的。

CAE软件是现代化企业比较高层技术的操作，它与CAD/CAM是密不可分的，如果只抓CAD，不抓CAE，企业的产品就摆脱不了傻大黑粗的阴影。CAD也发挥不出它的真正作用。所以，CAE必将越来越受到世人的重视，必将成为企业竞争的有力帮手。这次与NASTRAN与PATRAN的亲密接触体验到了它们强大的功能，并省时省力准确的进行了吊梁的强度计算和优化。

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第三章 建模过程与分析

吊梁的主体是由各个板件组成，其中有带孔的板件，其厚度一般比长和高小的多。根据这一特点及其受力情况，视为线弹性空间应力问题，采用三结点三角形单元进行分析。利用吊梁左右对称的特点，只需分析其一半的应力分布，以简化结构和缩短计算时间。根据受力特点可知前后吊孔边为集中部位。为保证分析精度，在这些区域的单元划分应致密些。在其他非应力集中区，整体划分可以稀疏些，以提高求解速度。

§3.1 建模过程

3.1.1 利用PATRAN建立几何模型

实际中任何构件或零部件都是三维的，但是当其某一个方向或某两个方向的尺寸远大于其他方向的尺寸时，就可以简化为杆或板，这种简化称为减维。吊梁各部件的长和宽比起厚度大的多，故此在本次设计中选择了二维的面单元进行建模分析。

几何模型是有限元的载体，复杂一些的模型都是先建立从实体简化过来的几何模型后再在几何模型上划分单元构成有限元模型，几何模型是利用点、线、面构成的，他的复杂程度主要取决于有限元模型选择的单元类型。本次设计的对象是吊梁，利用GEOMETRY栏下的CREAT命令建构点线面，每个面是该位置处板的中心截面，面与面相交构成简化后的吊梁的几何模型。但是，如果只按照图纸来建造几何模型是不行的。在某些三面相交处应合理打断某一平面成几个，在本次设计中有如下部位。如图3-1所示(其中一侧立板已隐去)：

由于建造几何模型之初是利用点线这些元素来绘制中心面，因此各个面之间是相互的，这就需要使用GEOMETRY栏下的ASSOCIATE(相关)命令来处理相交面之间的关系。如果两个中心面所代表的板材在实际情况中有力的作用，那么就必须使用ASSOCIATE命令使两个面结合成一个整体。如图3-2所示：

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图3-1 打断的底版和筋板 图3-2 几何模型与面面相关

3.1.2 定义材料和特性

吊梁材料由巨力集团提供，参照机械工程手册之物料搬运设备卷选择安全系1.5。在PATRAN的MATERIALS栏中定义各向同性(ISOTROPIC)，须输入的参数为：

表3-1 材料的一般参数 弹性模量 (ELASTIC MODULUS) 206GPa 泊松比 (POISSION RATIO) 0.3 密度 (DENSITY) 7.8E3kg/m3 [9]

在特性(PROPERTIES)中只定义板的厚度，由于后续优化步骤中要以厚度作为设计变量，所以此处将板厚相同和受力作用相似的面定义为同一名称。 3.1.3 划分单元

单元的选择单元的划分是将连续的结构，人为地分成有限段，是有限元分析的初步工作，可以根据需要控制单元的大小，粗略计算时，单元划分大些，主要目的是看变化的趋势；精确计算时，单元可以划的小一些，主要目的是，读取精确数据；一个模型在应力分布不同的部分，单元的大小也可不一致，应力梯度大的部位，单元大小可适当减小，以便观察变化趋势，相反，应力梯度小的部位，划分的单元可大些。

在PATRAN中应用了MESH和MESH SEED 对数学模型进行了单元的划分。MESH命令是直接在数学模型上划分单元，MESH SEED则是先在数学模型边界上撒种，然后由MESH

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以这些种子为准划分单元，见图3-3。

图3-3a 数学模型 图3-3b 用mesh 划分的单元

图3-3c 用mesh seed 撒种后划分的单元

两种方法各有便利之处，普通的单元划分，应用MESH比较方便，对于占据同一位置的两个几何形状，为了在划分单元后，单元相互对应，用MESH SEED较方便，还有在两曲面不完全相交时，没有MESH SEED 根本就不能进行划分单元，例图3-4所示部位：

种子 2面

1面

图3-4 底板与筋板相交 图3-5 自由边界

由于吊梁中有形状不规则的实体因此在FINITE ELEMENTS中用GLOBAL LENGTH30，TRIA3(三角形三结点)单元，PAVER对吊梁进行有限元网格划分，共生成5997个结点，11810个单元，之所以选三角形单元是因为它是NASTRAN最基本的二维单元，而且对边界拟合的能力很强。图3-6为划分单元后的1/2模型。划分单元后还要保持其协调性，

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故进行单元的模型检查(EQUIVALANCE)，检查是否有重复的结点和单元。最后可在PATRAN中的VERIFY看到模型的自由边界。所谓非自由边界是指，有面面相交的线，并不属于其中某一个面的边，故称为非自由边界。当有合理的自由边界时，吊梁的模型就成了一个有机的整体。图3-5为自由边界的结果。

图3-6 划分单元后的½模型

3.1.4 添加边界条件和等效结点载荷

当不考虑自重影响时下吊孔的下接触边缘的几个结点作用由外载荷，其载荷分量为非零元素。下面就是等效结点载荷的形成过程。

通常情况下圆形截面封闭环与吊孔在下半圆接触，且接触分布力向两边按余弦函数分布，设其数学式

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为：

q()qmaxcos (3.1)

转化成直角坐标为

F(x)Pmaxcos式中：F(x)：沿y方向的力

2Rx

(3.2)

Pmax：y方向最大的力

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R：吊孔半径，其值为0.075m

该分布在吊孔水平方向的两边为零，并且其合力的大小应等于载荷的大小，根据这两个条件和吊孔尺寸的大小，并以吊孔中心为坐标原点可以得到如下式子：

F(x)Pcosxmax2R (3.3) R2F(x)dxPQ0PQ：150T吊梁起重重量的1/4；其值为3.675E5牛顿

解这两个式子可以得到

Pmax3.85E6牛顿 (3.4)

因此分布力为：

F(x)1.45E5cos(2Rx) (3.5)

9 O 8 ７ ５ ３ １ ２ ６ ４ o

图3-7 吊孔受力图

如图3-7所示，吊孔的边缘受力范围有1～9节点，1～7节点角间隔为15，6～8、7～9段之间为45。为方便起见，认为节点2～3之间弧段上的径向线分布力集中作用于节点1上；2～4、3～5弧段上的径向线分布力分别集中作用与节点2、3点上；4～6、5～7弧段上的径向线分布力分别集中作用与节点4、5点上；6～8、7～9弧段上的径向线分布力分别集中作用与节点6、7点上。为此，先以吊孔中心为坐标圆心建立一个新的圆柱坐标系(Cylindrical Coordinate Frame)Coord 1，用于加径向载荷。如下是等效节点载荷(N)

o

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河北工业大学毕业论文 表3-2 等效节点力的分布值 节点号 垂直力(N) 径向力(N) 1 1.45E4 1.45E4 2 5.70E4 5.90E4 3 5.70E4 5.90E4 4 3.47E4 4.01E4 5 3.47E4 4.01E4 6 1.91E4 2.70E4 7 1.91E4 2.70E4 3.1.5 计算结果与分析

吊梁的有限元模型完成后，可提交NASTRAN进行计算，使用LINEAR STATIC分析标单元如图3-8所示

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[11]

。

在吊梁的有限元分析中使用了三角形常应变单元，取其中一个，他的节点编号和节点坐

：

y vm m vi um i O ui vj j uj x 3-8 三角形应变单元

节点编号遵循这样一个顺序：在右手直角坐标系中，硬是的右手螺旋按照ijm的转向转动。假定相邻单元的节点用理想铰链加以相连。因此，单元每个节点有两个方向的位移自由度u,v，三个节点共有6个位移分量。那么三节点三角形单元的节点位移分量为

aiaeajuiam应用于节点位移向量，节点力向量为：

viujvjumvm (3.6)

T{F}eXieYieXejYjeeXmeYm

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ee={Fi}{Fj}eFm (3.7)

T设单元内各点的位移可以用线性多项示表示，即单元位移函数可假定为

u12x3y (3.8) v45x6y其中1～6为6个待定系数。位移函数(3.8)比在单元节点上满足节点位移，将节点坐标和节点位移代入(3.8)式，可求出待定常数1～6。再将其代(3.8)式，就可得到位移函数，用矩阵表示为：

uNiuv0式中[N]为形函数矩阵，其中

0NiNj00NjNm00 (3.9) NmNi1(aibixciy)(i,j,m) 2A (3.10)

Ni(ii,j,m,p)反映了单元的位移形态，因此成为形态函数或位移插值函数。式中

A为三角形的面积：

A11xj21xm1xiyiyj ym

(3.11)

ai,bi,ci分别为：

aixjxmyjym,bi1yj1ym,ci1xj1xm (3.12)

将位移函数(3.8)代入空间问题的几何方程，可得

{}[B]ae[BiBjBm]ae

(3.13)

式中[B]为应变矩阵，其中任意一子矩阵的各元素为

bi1Bi02Aci

0ci(ii,j,m) bi (3.14)

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可以看出应变矩阵中各元素都是常数，只与单元节点坐标有关。因此单元中的应变也必为常量，三角形单元是常应变单元。

将式(3.13)代入物理方程D，得单元应力为

{}[D][B]ae[S]{}eSiSjeSma (3.15)

[S]为应力矩阵，显然，单元中的应力也为常量。

利用最小位能原理可推得单元刚度矩阵为

[K]eeT[B][D][B]tdxdy (其中t为二维体的厚度)

有前面分析可知，应变矩阵[B]和弹性矩阵[D]均为常量矩阵，因此单元刚度矩阵可表示为：

[K]e[B]T[D][B]tA

其中A (3.16)

edxdy，为单元的面积。

e[P]ePix然后，根据静力等效原则，将非节点载荷移植到节点上，形成等效节点载荷

PiyeePjxePjyePmxePmy

T (3.17)

由上述方法求得各单元的刚度矩阵和节点载荷后，可按照直接刚度法组集总刚度矩阵，组集总刚度，并建立整体刚度方程。通过求解有限元代数方程组，即可得到结构各节点的位移，再由式(3.13)既可求得各单元的应力。这就是NASTRAN对吊梁的有限元计算过程。

MSC/PATRAN对应力的求解是按照Von Mises应力来进行计算的。1913年，Von Mises提出了一个屈服条件，人们称为Von mises屈服条件。Von Mises屈服条件可以解释为：当材料八面体上的剪应力达到某一极限时，材料开始屈服。在材料力学中作为强度理论使用时，通常称为第四强度理论

[13]

。Von Mises屈服条件的应力值依赖于单元的坐标系，

是一个不变量，对于一般的应力状态(非主轴)，其表达式为：

J2C

上式中，J2指应力不变量，C是一个常数。 Von Mises屈服条件还可以改写成：

(3.18)

112622 von(xy)2(yz)2(zx)2626zxyzxy2 (3.19)

- 18 -

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作为应用最广泛的屈服条件，Von Mises 屈服条件考虑了中间主应力对屈服条件的影响，通常用于可延伸材料的失效准则。

通过MSC/PATRAN的后处理，得到了吊梁的应力应变分布云图，云图中的颜色对应应力的大小(该云图应为彩色)。如下所示：

图3-9 ½模型Von Mises应力云图

由图3-9可以看出其最大应力分布在吊梁上板中间对称截面的两侧，值为.8MPa。应力最小的部件分别位于筋板、吊耳、支板、立板和小堵板，其值为0.012MPa左右。这些板件很可能去掉，这种情况将在下一章节讨论。由图3-10可以看出最大的位移在吊孔的下边缘的外侧，其值为不足于1mm，其刚度过剩。这对于2.6m的吊梁来说是完全可以忽略的。

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图3-10 ½模型位移云图 §3.2 试验与强度分析

为了检测所建模型的准确性，必须对实际梁体的强度进行试验，通过对实验数据和有限元分析结果的比较来确认所建模型是否和实际梁体接近。因此对150吨吊梁抗拉静载强度，以便与计算结果进行比较，断定计算是否正确。

此次试验加载装置是由巨力集团提供的1000吨拉力试验机。采用应变仪测试技术，各测点根据应力方向粘贴单片应变片作为工作片，在与试件相同材质和相同温度的材料上，另贴补偿片，与应变仪内半桥联成电桥电路。实验采用的仪器为金属胶基应变片，规格是103，电阻是120Ω，灵敏度系数为2.05、接线端子、YJD—1型应变仪、P201R--1型平衡箱、DBYM—1型感应式标准应变发生仪。根据受力分析确定危险点和需要考察的部位测点，确定最大变形点和基准点的布置。

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图3-11 试验安装图

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图3-12 测点位置 在吊梁的强度试验中分别加载150、165、195吨试验结果如下表：

表3-3 1#、2#、3#、4#吊梁应变试验值(10) 加载 吊梁 测点 150T 1 2 1 4 5 6 1 2 2 4 5 6 1 3 ###-6

165T 130 215 120 -190 -350 -160 130 230 135 -165 -240 -190 170 200 155 195T 175 253 140 -230 -270 -180 150 275 160 -195 -290 -225 195 245 185 70 200 80 -172 -275 -145 115 205 120 -150 -220 -180 150 185 140 3 3 2 3 - 22 -

河北工业大学毕业论文 4 5 6 1 2 4 4 5 6 -170 -235 -150 -190 -260 -170 -215 -305 -195 #-150 -230 -150 135 215 140 -165 -255 -168 150 235 155 -190 -285 -195 180 280 185 3 表3-5 吊梁加载150T时的应变和应力 测点 1#(10) 2#(10) 3#(10) 4#(10) 平均应变(10) 平均应力(MPa) -16-16-16-16-161 70 115 150 135 117.5 24.2 2 200 205 185 215 201.25 41.5 3 80 120 140 140 120 24.7 4 -172 -150 -150 -170 -160.5 -33.1 5 -235 -220 -230 -235 -230 -47.3 6 -145 -180 -150 -150 -156.25 -32.2 由此表可得以下结论：吊梁最大应力点主要出现在中间对称面内，且下表面压应力大于上表面拉应力。最大出现在5测点，最大数值出现在4#吊梁5测点。当载荷是150吨时，最大压应变为max235，最大压应力为

maxmax*E235106206109Pa48.41MPa

当载荷为195吨时，最大压应变为max305，最大压应力为

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maxmax*E305106206109Pa62.83MPa。

§3.3 误差分析

在工程中不可避免的存在着在误差，有限元中出现误差的原因基本有以下几点1． 有限元基于弹性力学平面问题基本假设产生的误差： 2． 模型误差：将实际问题抽象为有限元模型时产生的。

3． 计算误差：采用数值方法对模型产生的误差，其性质是合入误差和截面误差。 4． 边界条件的误差：实际工况的定量表示误差，误差大小取决于工况测量或计

算精度。在加载荷和约束时采用模拟方法，与实际工况有差距。 5． 三节点三角形单元的应力误差：

6． 划分单元时由于计算机计算误差而产生单元的奇异，因此尽可能选择合适的

歧异单元的比例。

具体解释如下：

1．

元基于弹性力学平面问题基本假设产生的误差：

a) 设物体内部是连续的，毫无间隙、应力、应变和位移都是连续的。 b) 物体是匀质的，各点具有相同的物理性质，各向同性(各方向具有相

同的性质。

c) 物体是完全弹性的，在产生变形的外力或其他因素去除后，能恢复原

状。

d) 物体的位移和应变是微小的量。 2．

模型误差：将实际问题抽象为有限元模型时产生的。

a) 离散误差，物理上的离散误差，插值函数和实际场函数之间的差异。

几何上的离散误差与单元尺寸和插值多项式的几次有关，尺寸越小，精度越高，几次越高。

b) 几何模型误差：离散体与原结构间的误差。 c) 几何模型与实体模型也有着误差。

3． 计算误差：采用数值方法对模型产生的误差，其性质是合入误差和截面误

差。

a) 机器误差：由于计算机采用二进制计算运算，在二进制与十进制相

互转换过程中，存在着误差；

b) 计算方法的误差：在计算法上采用不同的软件其算法也不尽相同。 4． 边界条件的误差：实际工况的定量表示误差，误差大小取决于工况测量或

计算精度。在加载荷和约束时采用模拟方法，与实际工况有差距。

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[14]

：

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5．

三节点三角形单元的应力误差：

E4Mzh/sin (3.20)

Mz：实际场函数二阶导数在单元的最大的模

h：三角形最大的边长

：三角形的内角

6． 划分单元时由于计算机计算误差而产生单元的奇异，因此尽可能选择合适

的歧异单元的比例。

在本次设计的主要误差来源于几何模型误差与单元数多，而产生大的奇异比造成的。实验与计算的差距还来源于实验的误差。图3-12为X向的应力云图以便与实验值进行比较。表3-6为计算结果与实验值的比较。在MSC/NASTAN中的误差范围在5%～10%，本次设计基本符合要求其数据如表3-6所示：

图3-12 1/2模型X向应力云图

由图3-12可以看出其最大拉应力分布在吊梁上板中间对称截面的两侧，值为60.3MPa。应力最大压应力分布在吊梁底板中间对称截面，其值为43.2MPa。

- 25 -

河北工业大学毕业论文 表3-6 计算与实验比较 测点 试验值 计算值 相差百分比 2 41.5 42.5 2.4% 3 24.7 25.8 4.5% 5 -47.3 -43.2 8.2% 6 -32.2 -29.4 8.7% - 26 -

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第四章 优化设计

在进行吊梁重量的优化计算之前，首先要建立正确和合理的优化模型。结构优化模型包括三个方面：即设计变量、目标函数和约束条件。对于比较复杂的结构，优化模型的参数很多，手工定义相当复杂。目前，MSC/PATRAN优化功能，使优化模型的建立变得方便灵活，也方便了优化结果的后处理，但目前的MSC/PATRAN版本还不能完全支持MSC/NASTRAN SOL 200的优化功能，目标函数只能选择一个重量最小化，不能选择其他的目标函数，只支持静力和模态分析，不支持动态响应分析、屈曲分析和其他分析，而且不能同时进行静力分析和模态分析，因此，对于同时满足强度、刚度、稳定性的多种类型约束条件的结构优化问题，在PATRAN中是不能建立完整的优化模型的，还必须进行一些手工定义，填写数据卡片来完成功优化设计计算的数据文件(.DBF文件)。对于吊梁的优化要满足强度要求，涉及静力分析，因此不需要人工来建立一些数据文件

优化问题的数学表达是一般可表述为：

[15]

。

f(x)minthk(x)0s..g(x)0iX{x1,x2,,xn}k1,2,,pi1,2,,mLow (4.1)

式中，f(x)为目标函数，X为设计变量，式n维向量，X和gi(x)分别为等式和不等式约束函数。

吊梁的优化设计的目标函数式结构的最轻化，即

≦X≦XUpr；hk(x)W(x)min (4.2)

对于设计变量，一般说设计变量必须审慎地选择。这有两种方法：

1） 消去某些设计变量：首先考虑最终要考虑的那些变量，经过仔细选择的这些

变量可揭示出并指导下一步设计的信息。

2） 采用共同的设计变量：用不同的设计变量来定义每个单元往往是不必要或甚

至是不希望的。实际的约束可能要求一些单元具有一个或几个共同的设计变量。

其中吊梁是由各个板件组成的，它们是承载件，受力复杂，采用板单元建模，故设计变量分别取它们的板厚，变量共为12个，是根据模型的结构确定的，在定义变量时考虑了它的结构特点。等同位置的板件据有着相同受力工况，故此，把对应相同的部件定义成一个变量，其初始值为厂家给定的。

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河北工业大学毕业论文 §4.1 约束函数

4.1.1 性能约束

性能约束也成为功能约束，是根据设计对象应满足的功能要求而建立的约束条件。对于结构优化问题，性能约束主要可考虑对结构强度以及刚度应满足要求。对于吊梁，设计应力需小于所有材料的许用应力，而且应尽可能的降低设计应力。其值见表4-1。

吊梁采用Q235A和Q345A，其许用应力分别为150Mpa和217Mpa.因此应力约束δ01≤150Mpa和δ02≤217Mpa。 4.1.2 边界约束

边界约束又称区间约束，它规定了设计变量的取值范围，对于起重吊梁的各个板材其板厚可根据巨力集团给出的初始值来参考，选择安全系数为1.5，初步给出上下限。如下表：

表4-1 性能约束、边界约束 边界约束下设计变量 侧板 吊耳 底板 焊垫加吊耳 筋板1 筋板2 立板1 立板2 上板 套筒 小堵板 支板 限(mm) 10 10 1 30 1 1 1 1 10 10 1 1 边界约束上限(mm) 70 60 45 90 40 40 30 30 70 70 40 20 性能约束下限(Mpa) -196.7 -156.7 -196.7 -156.7 -156.7 -156.7 -156.7 -156.7 -196.7 -556.7 -156.7 -156.7 性能约束上限(Mpa) 196.7 156.7 196.7 156.7 156.7 156.7 156.7 156.7 196.7 556.7 156.7 156.7 §4.2 优化的数学模型与流程

由前几节可以得出吊梁结构优化问题的数学模型为：

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W(x)mins..0t (4.3) luxxxi1,212iiiX{x,xx}T1212优化设计的基本流程为：首先建立吊梁的几何模型，进行有限元网格划分，在边界条件中加入位移约束，在载荷条件中加入载荷约束，并对吊梁的材料和特性进行定义，然后在工具箱里生成设计变量，变量的上下范围、优化目标、约束条件。最后，提交到NASTRAN中进行优化分析和计算，读出优化结果。其流程如图所示：

建立优化设计模型 建立优化设计模型 选择优化设计约束 确定优化设计约束 优化 N 结果满足 Y 改进结果 结束 图4-1 吊梁的优化设计 §4.3 优化结果与分析

4.3.1 目标函数的迭代过程

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图4-2为吊梁重量的迭代过程，由图可见重量曲线一直在减少直到趋于水平直线。吊梁原重量2.85吨，优化后吊梁的最终重量为0.91吨，共减轻了68.1%。

图4-2 目标函数的迭代过程

4.3.2 设计变量

设计变量的优化结果见表4-2，其迭代过程的坐标见图4-3。可以看出：为降低自重，设计变量几乎达到下限值。

表4-2 设计变量的优化结果 变量名称 最终厚度(mm) 变量名称 最终厚度(mm) 侧板 17.2 筋板2 2.06 吊耳 10 立板1 1.5 底板 4.3 立板2 1.5 焊垫加吊耳 38.5 上板 22.6 筋板1 2.06 套筒 20 小堵板 2.4 支板 1.4 由图4-3可看出各设计变量均收敛，曲线最终趋近于水平。

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图4-3 各变量的迭代循环过程

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图4-4 优化后的Von Mises应力云图

各板应力值均不超过它们的许用应力，可参见表4-1由相互对应的许用应力。各自的应力值均接近但不超过它们的许用应力，充分地利用了材料。

§4.4 结构优化设计

从表4-1的优化结果可以看出有一些板件厚度很小大约均在2mm左右并没有给结构承受太大的载荷，并且由于板过薄给制造工艺带来麻烦。因此，去掉支板、立板与各筋板后，对前优化结果进行原整。

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河北工业大学毕业论文 表4-2 最终各板件和厚度 名称 板厚(mm) 侧板 17 吊耳 10 底板 5 焊垫 28 上板 22.5 套筒 20 小堵板 2.5

图4-5 结构优化后的Von Mises应力云图

对模型再次分析，分析结果如图4-5所示，由于圆整后的板加厚，有的板应力反而变小，说明结构优化后并没有出现应力减小，强度不足的问题。

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第五章 结论

本论文采用现代设计方法，检验了吊梁的强度并对其进行了优化设计并总结以下结论：

1） 原由巨力集团设计的150T25915841703mm吊梁由于手工计算导致强度富裕过多，特别是吊梁的筋板、立板、支板、底板等部位过厚，不仅浪费了材料，而且会导致在实际工况中产生应力集中，使结构不合理。

2） 在MSC/NASTRAN优化中，考虑各相关部件匀称统一的原则，定义各板件厚度的约束条件。初步优化结果使各板件厚度作了较大幅度的减小，其中筋板、立板、支板等厚度仅为2mm左右，存在进一步对结构简化的可能。简化结果表明结构强度满足要求，并使加工工艺得到简化，成本降低。另外，在板件焊接的设计中，一般尽可能不用板厚(δ>24)设计相比更加合理。

3） 通过对吊梁质量与结构的优化设计，吊梁由原来的2.85吨，减轻到0.49吨，共减轻2.36吨，约为原重的68.7%。吊梁构件采用了普通碳素钢Q235A、Q345A，具有不锈蚀特点，成本高。因此，吊梁质量的大大减小，势必降低不小的成本。在国民生产中具有明显的现实意义。

4） 对于类似吊梁的钢架结构，使用有限元分析比手工计算更加精确、直观、简便。如果进一步开发成为专用参数化系统，将大大提高设计效率。

[16]

，板厚易引起多向应力和应力集中。可见，优化后其结

果不仅在结构上满足了应力与位移的要求，而且也符合了结构板厚的经验值。比原

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参考文献：

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-Neal-Schwendler Corporation

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[16] 电子工程手册编辑委员会. 物料搬运设备卷/机械工程手册. 第二版.

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北京: 机械工业出版社, 1996.9

致 谢

为期三个月的毕业设计终于结束。在完成论文之际不得不感谢我的指导老师周志革博士。在此期间周老师给予我莫大的帮助，周老师无论是在学识上还是在思考问题方法上都给予我和多的启示，使我受益非浅，将在以后的

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工作和学习上指导我前进，使我不能忘记。

同时，还要感谢汽车教研室的所有老师，尤其是董正身、卞学良、武一民、马国清老师在设计期间给予的支持、指导与帮助。

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