垂径定理—知识讲解（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理 1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
【思路点拨】
欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA. 【答案】D；
【解析】连OA，由垂径定理知AD1AB3cm， 22222所以在Rt△AOD中，AOODAD435（cm）．
所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。 举一反三：
【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】
【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
【答案】1cm．
2．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．
【答案与解析】
解：∵E为弧AC的中点， ∴OE⊥AC， ∴AD=AC=4cm，
∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，
222222
∴在Rt△OAD中，OA=OD+AD即OA=（OE﹣2）+4， 又知0A=OE，解得：OE=5， ∴OD=OE﹣DE=3cm．
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：
【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】
【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且DAC30，
AD=13. 求弦BC的长.
【答案】6.
类型二、垂径定理的综合应用
3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）
A．5m B．8m C．7m D．53m 【思路点拨】
解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问
题转化为数学问题中的已知条件和问题．
【答案】B；
【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，
CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、D、O三点共线，且OC平分AB．
22222
在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD＝OA－AD＝13－12＝25． ∴ OD＝5，
∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．
【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定
理（推论）及勾股定理求解. 4．（2016•惠安县模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 ．
【思路点拨】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 【答案与解析】
解：作OD⊥AB于D，连接OA． ∵OD⊥AB，OA=2， ∴OD=OA=1， 在Rt△OAD中 AD=
=
=
，
∴AB=2AD=2． 故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 举一反三：
【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R=30+(R-18)， R=900+R-36R+324， 解得R=34(m).
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16， 34=16+(34-x)， x-68x+256=0，
解得x1=4，x2=(不合题意，舍)， ∴DE=4m＞3m， ∴不需采取紧急措施．
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