2020年高三数学专题复习导数综合讲义

第1讲导数的计算与几何意义第2讲函数图像第3讲三次函数第4讲导数与单调性第5讲导数与极最值第6讲导数与零点

第7讲导数中的恒成立与存在性问题

第8讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式）第9讲

导数中的距离问题第10讲导数解答题

10.1导数基础练习题10.2分离参数类10.3构造新函数类

10.4导数中的函数不等式放缩10.5导数中的卡根思想10.6洛必达法则应用

10.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式10.8极值点偏移问题10.9

多元变量消元思想

10.10导数解决含有lnx与ex的证明题（凹凸反转）10.11导数解决含三角函数式的证明

10.12隐零点问题10.13端点效应

10.14

其它省市高考导数真题研究

1..........3..........4..........7..........8..........9.........10.........11.........13.........17.........18..........21..........24..........26..........29..........30..........32..........33..........35..........37...........39..........40..........42..........44..........45

导数

【高考命题规律】

近几年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2019 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2019 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2019 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测2020年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等式结合考查恒成立问题，另外 2016 年全国卷 1 理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。【基础知识整合】

1、导数的定义：f(x0)lim

'

x0

'

f(x0x)f(x0)f(xx)f(x)'

，f(x)lim

x0xx

2、导数的几何意义：导数值f(x0)是曲线yf(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率3、常见函数的导数：C0；(x)nx

'

n'

n1

；(sinx)cosx；(cosx)sinx；''

(lnx)'

'

11'x'xx'x

；(logax)；(e)e；(a)alnaxxlna'

'

'

'

'

u'u'vv'u

4、导数的四则运算：(uv)uv；；(uv)uvvu；()

vv25、复合函数的单调性：f

'

''

(g(x))f(u)g(x)x

'

'

6、导函数与单调性：求增区间，解f(x)0；求减区间，解f(x)0

若函数在f(x)在区间(a,b)上是增函数f(x)0在(a,b)上恒成立；若函数在f(x)在区间(a,b)上是减函数f(x)0在(a,b)上恒成立；若函数在f(x)在区间(a,b)上存在增区间f(x)0在(a,b)上恒成立；若函数在f(x)在区间(a,b)上存在减区间f(x)0在(a,b)上恒成立；7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法''''

2第1讲导数的计算与几何意义（2016全国卷1理16）若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b__________1ln2

（2015全国卷1理21（1））已知函数f(x)xax

3

yf(x)的切线a

3

4*

1

，当a为何值时，x轴为曲线4（2015安徽卷理18（1））设nN，xn是曲线yx点的横坐标，求数列{xn}的通项公式.2n2

1在点(1,2)处的切线与x轴交xn

nn13ax2ax

（2015重庆卷理20（1））设函数f(x)(aR)，若f(x)在x0处取得极值，xe确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程a0，3xey01、函数f(x)cosx在点(

3

22

11,)处的切线方程为___xy0_____42242、过f(x)x3x2x5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_[0,

3)[,)____242

3、若一直线与曲线ylnx和曲线xay(a0)相切于同一点P，则a__2e___4、两曲线yx1和yalnx1存在公切线，则正实数a的取值范围是__(0,2e)__2

a2

5、已知a,b为正实数，直线yxa与曲线yln(xb)相切，则的取值范围是（C）2b（A）(0,)6、若曲线y（C）（A）2

（B）（B）(0,1)

（C）(0,)

12

x与曲线yalnx在它们的公共点P(s,t)处具有公切线，则实数a2e

12（C）1

（D）2

12（D）[1,)

2f(x)xf'(x)

7、函数f(x)是定义在(0,)的可导函数，当x0且x1时，0，若x1曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为（A）0

（B）1

3

，则f(1)（C）431（C）（D）853第2讲图像问题1、己知函数fxaxbxc，其导数f

3

2

'

x的图象如图所示，则函数fx的极大值是（D）（A）abc（C）3a2b

（B）8a4bc（D）c

2、设函数yf(x)可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图像可能为（A）yOxyyyyOAxOBxOCxODx3、（2017全国卷Ⅰ文8）函数y

sin2x

的部分图像大致为（C）1cosx44、函数fx

y

xln|x|

的图像可能是（B|x|y

)y

y

x1O11Ox11x1OC

1OD

1xAB

5、函数f(x)(x)cosx(x,x0)的图像可能为（D）1x6、已知f(x)

12xsin(x)，fx为fx的导函数，则fx的图像是(A)427、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是．．．．．(B)（A）①②（B）③④（C）①③（D）①④58、已知R上可导函数fx的图象如图所示，则不等式x2x3f

2

x0的解集为(D'

)（A）,21,（C）（B）（D）,21,2,11,13,2

2

,11,02,3

2

9、函数fxxbxcxd的大致图象如图所示,则x1x2等于(C)（A）

（B）109

（C）169

（D）45

10、（2015安徽）函数fx（A）a0,b0,c0（C）axb

xc2

的图像如图所示，则下列结论成立的是（C）（B）a0,b0,c0

（D）a0,b0,c0

a0,b0,c0

11、（2016全国卷）函数y2xe在[2,2]的图像大致为（D）2x

（A）（B）（B）（D）6第3讲三次函数1、函数f(x)

131

x(m1)x22(m1)x在(0,4)上无极值，则m__3___323

2

2

2、已知f(x)x3axbxa在x1时有极值0，则ab_7_3、设函数f(x)x(a1)xax有两个不同的极值点x1,x2，且对不等式3

2

1

f(x1)f(x2)0恒成立，则实数a的取值范围是_(,1][,2]__24、函数f(x)x3xax2a，若存在唯一正整数x0，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是__[,1)___5、已知函数f(x)xaxx1在(,)上是单调函数，则实数a的取值范围是（A）（A）[3,3]（C）(,3)(3,)

（B）(3,,3)（D）(,3][3,)

3

2

3

2

231x3a2

6、若函数f(x)xx1在区间(,3)上有极值点，则实数a的取值范围是（C）232（A）(2,,)5

2（B）[2,,)52（C）(2,,

10)3（D）[2,,

10)31x3a2

7、若函数f(x)xx1在区间(,3)上单调递减，则实数a的取值范围是（C）232（A）[,)

1

3（B）[,)

53（C）[

10

,)3（D）[

16

,)3x32

8、若函数f(x)则实数a的取值范围是（C）x2在区间(a,a5)上存在最小值，33（A）[5,0)

3

（B）(5,0)

2

2

（C）[3,0)（D）(3,0)

9、若函数f(x)xaxbxa7a在x1处取得极大值10，则（A）

31或22（B）

31

或22（C）

32b

的值为（C）a1

（D）

27第4讲导数与单调性1、已知函数f(x)x5x2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是_(0,)(2,)__2、已知函数f(x)elnxae(aR)，若f(x)在(0,)上单调，则a的取值范围是_a1__x

x

2

123x2ax

3、设函数f(x)(aR)，若f(x)在[3,)上为减函数，则a的取值范围是xe

__a

9

_____24、若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数，且F(x)

x

f(x)

在I上也是增函x数，则称yf(x)是I上的“完美函数”，已知g(x)exlnx+1，若函数g(x)是区间m

,)上的“完美函数”，则整数m的最小值为__3______22x

5、设函数f(x)eax在(0,)上单调递增，则实数a的取值范围为（C）[

（A）[1,)

2

（B）(1,)（C）[2,)（D）(2,)

6、函数f(x)2xlnx在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内不单调，则k的取值范围是（B）（B）[1,)2

（A）[1,)

3

2（C）[1,2）

（D）[,2)

327、若函数f(x)lnxax2在区间(,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（D）（B）(2,)

（C）(2,)12（A）(,2]

18（D）[,)

18lnxlnx2lnx2

8、设1x2，则,(),2的大小关系是（Axxxlnx2lnxlnx2

（A）()2xxxlnx2lnx2lnx

（C）()2

xxx9、下列命题为真命题的个数是（D①e2（A）1

2

e）lnxlnx2lnx2

（B）()2xxxlnx2lnx2lnx

（D）2()

xxx）②ln2

2

3③ln

1e（C）3

8④ln2ln2（D）4

（B）2

第5讲导数与极最值2

2

2

1、已知x0是函数f(x)(x2a)(xax2a)的极小值点，则a的范围是_(,0)(2,)__2、已知x1是函数f(x)(x2)e

x

k2

xkx(k0)的极小值点，则k的范围是_(0,e)_2）3、已知函数f(x)x2x1alnx有两个极值点x1,x2，且x1x2，则（D2

12ln2412ln2

（C）f(x2)

4（A）f(x2)

x

（B）f(x2)

12ln2412ln2

（D）f(x2)

4）4、若函数f(x)ae3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（B（A）(3,)

（B）(,3)

（C）(,)

13（D）(,)135、已知函数f(x)x(lnax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（（A）(,0)

（B）(0,)B）12（C）(0,1)（D）(0,)

1ax2

6、若函数f(x)(12a)x2lnx(a0)在区间(,1)内有极值，则a的取值范围22是（C）（B）(1,+)

（C）(1,2)

（D）(2,)

（A）(,)

1

e7、若函数f(x)在区间A上，对a,b,cA,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三条边，则称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)xlnxm在区间[则实数m的取值范围为（D）1

,e]上是“三角形函数”，2e1e22（A）(,)ee2

（B）(,+)

e1

（C）(,)

ee22（D）(,)

e9第6讲1、设函数f(x)x2ex围是（D2

2

导数与零点lnx

a，若函数f(x)至少存在一个零点，则实数a的取值范x2

）（A）(0,,e]1e

（B）(0,e]

1e

（C）[e,)

2

1e

（D）(,e]2

1e

mex2

2、已知函数f(x)与函数g(x)2xx1的图像有两个不相同的交点，则实数m

2的取值范围为（D（A）[0,1)

）（B）[0,2){

18}2e（C）(0,2){

18}2e（D）[0,2e){

18}2e3、定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(ax1x2b)满足f'(x1)

f(b)f(a)f(b)f(a)'

，f(x2)，则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知baba3

2

函数f(x)2xxm是[0,2a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（A）（A）(,)1184（B）(

11，）124（C）(

11,)128（D）(,1)

184、若存在正实数m，使得关于x的方程xa(2x4m4ex)[ln(xm)lnx]0有两个不同的根，则实数a的取值范围是（C）（A）(,0)

（B）(0,

1）2e（C）(0)(

1

,)2e（D）(

1

,)2exex

5、（2017.12成都一诊）若关于x的方程xm0有三个不相等的实数解exexx1,x2,x3，且x10x2x3，其中mR,e2.71828...为自然对数的底数，则x3x12x21)(1)(1)的值为（D）ex1ex2ex3（A）e（B）1m(

6、已知函数f(x)(3x1)e值范围为（B）（A）(,2)

x1

（C）1m（D）1

mx，若有且仅有两个整数使得f(x)0，则实数m的取18

,2)23e5)2e5e（B）[

58,2)2e3e（C）[（D）[4e,

10第7讲导数中的恒成立与存在性问题x

1、（2015全国卷1理12）设函数f(x)e(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是（D（A）[

）3,1)2ex

（B）[

33,)2e4（C）[

33,)2e4（D）[

3,1)2e2、设函数f(x)e(3x1)axa，其中a1，若有且只有一个整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是（C）2322

（C）(,1)（D）[,1)

e4ee1

3、已知函数f(x)x(ax)，曲线yf(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的e

切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（D）1122

（A）(e,)（B）(e,0)（C）(2,)（D）(2,0)

ee（A）(,)（B）[,)23

e41(e2a)2

4、设函数f(x)若关于x的不等式f(x)有解，则实数a(xa)2(aR)，54的值为（A）（A）1

5（B）5、已知f(x)alnx

12

x(a0)，若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有214（C）0

（D）12f(x1)f(x2)

2恒成立，则实数a的取值范围是（D）x1x2

（A）(0,1]

+)（B）(1，（C）(0,1)

2

（D）[1,)

6、已知函数f(x)aln(x1)x，若对p,q(0,1)，且pq，有f(p1)f(q1)

2恒成立，则实数a的取值范围为（C）pq（A）(,18)

x

（B）(,18]

2

x

（C）[18,)（D）(18,)

7、设函数f(x)e(x3x3)aex(x2)，若不等式f(x)0有解，则实数a的最小值为（A）（A）1

1e（B）2

1e（C）11e（D）1e

2

118、设函数f(x)e(x+

x3

32

x6x2)2aexx，若不等式f(x)0在[2,)上有解，2322e（C）

则实数a的最小值为（C）（A）

312e（B）

3142e（D）1

1e1lnx(xb)2

9、已知函数f(x)(bR)，若存在x[,2]，使得f(x)xf'(x)，则2x实数b的取值范围是（C）（B）(,)x

2

（A）(,2)3

2（C）(,)94（D）(,3)

10、已知f(x)xe，g(x)(x1)a，若x1,x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_a

2

2

1

_______e

11、若关于x的不等式cx(cx1)lnxcx0在(0,)上恒成立，则实数c的取值范围是__[,)____1e12、若关于x的不等式(ax1)(lnxax)0在(0,)上恒成立，则实数a的取值范围是__(,){e}_13、若函数f(x)x1alnx(a0)，g(x)

1exex1，且对任意x1,x2[3,4](x1x2)，f(x1)f(x2)

3311

恒成立，则实数a的取值范围为_[4e,0)____4g(x1)g(x2)g(x1)f(x2)xx21

14、设函数f(x)，g(x)x，对任意x1,x2(0,)，不等式恒

ekk+1x成立，则正数k的取值范围是_k

x

1

___2e115、记曲线f(x)e2x上任意一点处的切线为l1，总存在过g(x)ax3cosx上一点处的切线为l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是__[1,2]__12第8讲原函数导函数混合还原一．导数的常见构造1．对于f'xg'x，构造hxfxgx更一般地，遇到f'xaa0，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构hxfxax

2．对于f'xg'x0，构造hxfxgx3．对于f'xfx0，构造hxefxx4．对于f'xfx[或f'xfx0]，构造hx5．对于xf'xfx0，构造hxxfx6．对于xf'xfx0，构造hx7．对于fxexfxxf'x0，分类讨论：(1)若fx0，则构造hxlnfx；fx(2)若fx0，则构造hxlnfx；二．对于抽象函数而言，在构造函数时我们必须从以下方面考虑：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等方面考虑，如果题目给出的条件已经是最简的，则从问题入手；否则反向考虑。例：（2015课标2卷理12）设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当'

x0时，xf'(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（A）（A）(,1)(0,1)（B）(1,0)(1,)（C）(,1)(1,0)（D）(0,1)(1,)

变式1.函数fx的定义域是R，f02，对任意xR,fxfx1，则不等式exfxex1的解集为（A）（A）{xx0}（B）{xx0}（C）{xx1或0x1}（D）{xx1或x1}

13变式2.设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有'

3f(x)xf'(x)0,则不等式x2015f(x2015)27f(3)0的解集是（A）3

（A）(2018,2015)（B）(,2016)（C）(2016,2015)（D）(,2012)

变式3.设函数f(x)在R上存在导数f(x)，xR，有f(x)f(x)x，在0,上'

2

f'(x)x，若f(4m)f(m)84m，则实数m的取值范围为（B）（A）2,2（B）2,（C）0,（D）,22,课后练习：

1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)1，且f(x)的导函数f(x)x1，则不等式f(x)

12

xx1的解集为（C）2

（B）(2,)

（C）(,2)

（D）(,2)(2,)

（A）(2,2)

2、己知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)e的解集为（B）（A）(2,)

（B）(0,)

（C）(1,)

（D）(4,)

x

3、若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f'(x)1，f(0)4，则不等式为自然对数的底数)的解集为（A）（A）(0,)

（B）(,0)(3,)

（C）(,0)(0,)

f(x)31(exe（D）(3,)

4、已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)f(4x)，且当x2时，其导函数f(x)满足xf(x)2f(x)，若2a4，则（C）（A）f(2a)f(3)f(log2a)（C）f(log2a)f(3)f(2a)

（B）f(3)f(log2a)f(2a)

（D）f(log2a)f(2a)f(3)

[&网14Z&X&X&K]5、定义在R上的函数fx满足：fx1fx,f00,fx是fx的导函数，则不等式efxe1（其中e为自然对数的底数）的解集为（Bxx）（D）1,[来（A）,10,（B）0,（C）,01,6、已知函数yfx对于任意的x(

,)满足fxcosxfxsinx0（其中22

fx是函数fx的导函数），则下列不等式不成立的是（B）4（C）f(0)2f()

4

（A）2f()f()

3

（B）2f(

)f()34（D）f(0)2f()

3

7、f(x),g(x)(g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，（A）(,3)(3,)（C）(3,0)(3,)

f(x)

0的解集为（Cg(x)

）（B）(3,0)(0,3)（D）(,3)(0,3)

8、函数f(x)的导函数为f(x)，对xR，都有2f(x)f(x)成立，若f(ln4)2，则不等式f(x)e的解是（A）[来源om]（A）xln4

（B）0xln4

（C）x1

（D）0x1

x2

9、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0,当x0时，有则不等式xf(x)0的解集为（（A）(2,0)(2,)（C）(,2)(2,)

2

xf'(x)f(x)

0恒成立，2xD）（B）(2,0)(0,2)（D）(,2)(0,2)

15g(x)

，则下列结论一定成立的是（B）xg(2)g(2)g(2)g(2)（A）g(1)3（B）g(1)2（C）g(1)4（D）g(1)4

222210、已知一函数满足x0时，有g'(x)2x2

11、定义在区间0,上的函数f(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中f(x)

'

'

为f(x)的导数，则（A（A）4

）f(2)

8f(1)（B）8

f(2)

16f(1)（C）3

f(2)

4f(1)（D）2

f(2)

3f(1)12、已知函数f(x)的定义域为,00,，图像关于y轴对称，且当x0时，f'(x)

（B（A）f(x)4af(a1)4a

,2af(2a),(a1)f()的大小关系为恒成立，设a1，则xa1a1）4af(a1)4a

2af(2a)(a1)f()a1a14af(a1)4a

2af(2a)(a1)f()（B）a1a14af(a1)4a

(a1)f()（C）2af(2a)

a1a14af(a1)4a

(a1)f()（D）2af(2a)

a1a113、已知函数f(x)的导函数为f(x)，x0,，都有xf(x)2f(x)成立，则（D'

'

）（A）2f(3)3f(2)（C）4f(3)3f(2)

（B）2f(1)3f(2)（D）4f(1)f(2)

14、已知奇函数f(x)满足：对x1,x2,0且x1x2，有立，若a2

0.2

x1f(x1)x2f(x2)

0恒成x1x2

bac

11

f(20.2),b(ln2)f(ln2),c(log2)f(log2)，则a,b,c的大小关系为44（用“”表示）16第9讲导数中的距离问题1、（2012全国卷1理12）设点P在曲线y小值为（B）（A）1ln2

（B）2(1ln2)

3

1x

e上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ最2（C）1ln2

（D）2(1ln2)

2、直线xm与函数f(x)xg(x)lnx图像分别交于点M,N，则MN最小值为（A）（A）1ln3

3（B）ln33（C）x1

1ln33（D）ln31

3、已知直线ya分别与函数ye离是（C）（A）和yx1交于A,B两点，则A,B之间的最短距3ln225+ln223ln22（B）5ln222

（C）（D）4、已知点M在曲线y3lnxx上，点N在直线xy20上，则MN的最小值是__22__5、已知直线yb与函数f(x)2x3和g(x)axlnx分别交于M,N两点，若MN的最小值为2，则ab__2___12a2lna3c26、若实数a,b,c,d满足1，则(ac)2(bd)2的最小值为____10bd7、若实数a,b,c,d满足ba4lna2cd20，则(ac)(bd)的最小值为__5___2

2

2

ex1,x0



8、已知函数f(x)3x，若mn，且f(m)f(n)，则nm的范围是1,x02_[

72e31

,ln]_323ln(x1),x0



9、已知函数f(x)1，若f(x1)f(x2),x1x2，则x1x2的范围是x1,x02_[32ln2,2)__10、已知函数f(x)(xm)(xme)2ax(aR)在R上单调递增，则a的取值范围是_a0___3

m3

17第10讲导数解答题常用函数不等式x1lnxxln(x1)1lnx1

x

x21

lnx

21x2lnx

xn1

iln(n1)i1

不等式链：ab

exx1x1

exx2x

e1x

2

1

x1xeex1ex1

x1

2n1

lnni2iaabb(ab)

221

abab

a2b22a2abb2ab

23ab2111ab

abab2balnblnaa2ab1bba

()e(b)baabe(a)ba(ab)ab22alnblnababab对数均值不等式：abba

ab（用来解决极值点偏移问题）2lnblna

对数不等式（用来证明对数均值不等）0x1,x1xlnx

2(x1)

x1x1,

2(x1)x1lnxx1x【基础典例分析】例：已知函数f(x)ln(x1)（Ⅰ）讨论f(x)零点的个数；（Ⅱ）证明：ax

(a1)xa213

ln(1),nN*

2n1n3n1【答案】（Ⅰ）当a1时，1个零点；当1a2时，2个零点；当a2时，1个零点；当a2时，2个零点（Ⅱ）分别取a2和a3证左右两边18【近七年高考全国卷Ⅰ】（2017年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)ae（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在(,lna)上单调递减，在(lna,)上单调递增（Ⅱ）0a1

2x

(a2)exx

（2016年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)(x2)ea(x1)有两个零点（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22【答案】（Ⅰ）a的取值范围为(0,)；（Ⅱ）极值点偏移问题，构造函数x2

（2015年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)xax（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线3

1

，g(x)lnx4（Ⅱ）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)min{f(x),g(x)}(x0)，讨论h(x)零点的个数【答案】（Ⅰ）a

3；435

（Ⅱ）当a或a时，1个零点；4435

当a或时，2个零点；4453

当a时，3个零点4419bex1

（2014年高考全国卷Ⅰ）设函数f(x)aelnx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的xx

切线为ye(x1)2（Ⅰ）求a,b（Ⅱ）证明：f(x)1【答案】（Ⅰ）a1,b2；（Ⅱ）变形构造，略（2013年高考全国卷Ⅰ）设函数f(x)xaxb，g(x)e(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2（Ⅰ）求a,b,c,d的值（Ⅱ）若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围【答案】（Ⅰ）a4,b2,c2,d2；（Ⅱ）k的取值范围为[1,e]

（2012年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)f(1)e（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间'

x1

2

2

x

1

f(0)xx2

212

xaxb，求(a1)b的最大值212x

【答案】（Ⅰ）f(x)的解析式为f(x)exx；2（Ⅱ）若f(x)

单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（Ⅱ）(a1)b的最大值为e2（2011年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)方程为x2y30（Ⅰ）求a,b的值alnxb

，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线x1xa1,b1

lnxk

，求k的取值范围x1x

20（Ⅱ）如果当x0且x1时，f(x)

k0

10.1导数基础练习题1、已知函数f(x)xlnx，g(x)xax（Ⅰ）求函数f(x)在区间[t,t1](t0)上的最小值m(t)

（Ⅱ）令h(x)g(x)f(x)，A(x1,h(x1))，B(x2,f(x2))(x1x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足2

h(x1)h(x2)

1，求实数a的取值范围x1x2

ag(x)

成立，求实数a的最大值x（Ⅲ）若x(0,1]，使f(x)

【答案】（Ⅰ）当0t1时，m(t)1；当t1时，m(t)tlnt（Ⅱ）a的取值范围为a222（Ⅲ）实数a的最大值为1

2、已知函数f(x)xlnx，g(x)xax3（Ⅰ）求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值（Ⅱ）若存在x0[,e]，2f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当0t

当t

2

1e1

时，f(x)mintlnte

1

（Ⅱ）a的取值范围为a3e2

e

2

11时，f(x)min；ee3、已知函数f(x)xlnx，g(x)xax2（Ⅰ）求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值（Ⅱ）若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1x2)且x2x1ln2，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当0t

当t

1

时，f(x)mintlnte2ln2

)1（Ⅱ）a的取值范围为aln2ln(

332111

时，f(x)min；ee4、已知函数f(x)lnx，g(x)

12

xbx2（Ⅰ）函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图像相切，求实数b的值（Ⅱ）若函数h(x)f(x)g(x)在定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围（Ⅲ）若b2，x1,x2[1,2]，且x1x2，都有f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)成立，求实数b的取值范围【答案】（Ⅰ）b12（Ⅱ）b的取值范围为b2（Ⅲ）b的取值范围为b2

5、设函数f(x)axalnx，g(x)（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）证明：当x1时，g(x)0

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在(1,)区间内恒成立【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)在(0,)上单调递减；2

1exex当a0时，f(x)在(0,（Ⅱ）变形x1,eex0（Ⅲ）a的取值范围为[,)

6、函数g(x)f(x)垂直（Ⅰ）求实数a的值x

2a2a)上单调递减，在(,)上单调递增2a2a12

xbx，函数f(x)xalnx在x1处的切线与直线x2y0212（Ⅱ）若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围（Ⅲ）设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点，若b【答案】（Ⅰ）a1；（Ⅱ）b3

（Ⅲ）7

，求g(x1)g(x2)的最小值215

2ln2822a12

x1211

（Ⅰ）当a时，求f(x)在区间[,e]上的最值2e

7、已知函数f(x)alnx（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性（Ⅲ）当1a0时，有f(x)1【答案】（Ⅰ）f(x)min

a

ln(a)恒成立，求a的取值范围251e2

f(1),f(x)maxf(e)

424（Ⅱ）当a0时，f(x)在(0,)上单调递增；当1a0时，f(x)在(aa,)上单调递增，在(0,)上单调递减a1a1（Ⅲ）a的取值范围为(1,0)

8、已知函数f(x)axxlnx图像在点xe处的切线的斜率为3（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若f(x)kx对任意x0成立，求实数k的取值范围（Ⅲ）当nm1(m,nN)时，证明：【答案】（Ⅰ）a1；（Ⅱ）分参构造，k1

（Ⅲ）取对数，构造h(x)

*

nm2

1emn

mn

xlnxx19、已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0，设函数g(x)lnx（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）对任意x1x20，mxg(x1)g(x2)

1恒成立，求实数m的取值范围x1x2

（Ⅲ）讨论方程g(x)f(x)ln(x1)在[1,)上根的个数【答案】（Ⅰ）a1；14（Ⅲ）m1，1个根；m1，无根（Ⅱ）移项构造，m

2310、已知函数f(x)lnxa(1x)（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）当f(x)有最大值时，且最大值大于2a2时，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)在(0,)上单调递增；当a0时，f(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减；（Ⅱ）(0,1)

1a1a10.2分离参数类11、已知函数f(x)lnx

12

ax2x(a0)2（Ⅰ）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围（Ⅱ）若a

11

，且关于x的方程f(x)xb在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实225

4数b的取值范围【答案】（Ⅰ）a1；（Ⅱ）(ln22,)

ex

12、已知函数f(x)a(xlnx)

x（Ⅰ）当a0时，试求f(x)的单调区间（Ⅱ）若函数f(x)在x(,2)上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减；（Ⅱ）2eae

122413、已知函数f(x)=eaxa，g(x)2xe（Ⅰ）讨论f(x)的单调性xx

（Ⅱ）若不等式f(x)g(x)有唯一正整数解，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在(ln(a),)上单调递增，在(,ln(a))上单调递减；5e3

（Ⅱ）(3e,)22

14、已知函数f(x)(xaxa)e（Ⅰ）讨论f(x)的单调性2x

（Ⅱ）若a(0,2)，对于任意x1,x2[4,0]，都有f(x1)f(x2)4e求m的取值范围2

mea恒成立，【答案】（Ⅰ）当a2时，f(x)在(,a)上单调递增，在(a,)上单调递减；当a2时，f(x)在R上单调递增；当a2时，f(x)在(,2),(a,)上单调递增，在(2,a)单调递减1e2

（Ⅱ）m

e215、已知函数f(x)lnxxa1

（Ⅰ）若存在x(0,)使得f(x)0成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：当x1时，在（Ⅰ）的条件下，【答案】（Ⅰ）a0；当a0时，f(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减；（Ⅱ）略121

xaxaxlnx成立221

a1a2510.2构造新函数类16、已知函数f(x)mxalnxm，g(x)（Ⅰ）求g(x)的极值exx2（Ⅱ）设m1,a0，若对任意的x1,x2[3,4](x1x2)，f(x1)f(x2)恒成立，求a的最大值11



g(x1)g(x2)（Ⅲ）设a2，若对x0(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1t2)，使得f(t1)f(t2)g(x0)成立，求m的取值范围（*）【答案】（Ⅰ）g(x)的极大值为g(1)1，无极小值；22e33

,)（Ⅲ）m的取值范围为[e1（Ⅱ）a的最大值为3

17、已知f(x)e

2x

ln(xa)

2

（Ⅰ）当a1时，f(x)在点(0,1)处的切线方程；当x0时，求证：f(x)(x1)+x（Ⅱ）若存在x0[0,)，使得f(x0)2ln(x0a)x0成立，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）切线方程为y3x1；（Ⅱ）a的取值范围为ae

18、已知函数f(x)2x

二阶导可证2

1

alnx(aR)x（Ⅰ）当a3时，求f(x)的单调区间（Ⅱ）g(x)f(x)x2alnx，g(x)有两个极值点x1,x2，其中x1x2，若g(x1)g(x2)t恒成立，求t的取值范围【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为(0,),(1,)，单调递减区间为(,1)；（Ⅱ）t的取值范围为t0

12122619、已知函数f(x)alnx（Ⅰ）求实数a的取值范围12

xax有两个极值点2（Ⅱ）设f(x)的两个极值点分别为x1,x2，若不等式f(x1)f(x2)(x1x2)恒成立，求的最小值【答案】（Ⅰ）a的取值范围为a4

（Ⅲ）的最小值为ln43

20、记max{m,n}表示m,n中的最大值，如max{3,10}10，函数f(x)max{x21,2lnx}，g(x)max{xlnx,ax2x}

（Ⅰ）求函数f(x)在[,1]上的值域（Ⅱ）试探讨是否存在实数a，使得g(x)的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（Ⅰ）f(x)的值域为[

123

x4a对x(1,)恒成立？若存在，求a23

,3]；4ln21

a0（Ⅱ）存在，a的取值范围为412

x，g(x)alnx221、已知函数f(x)

（Ⅰ）若曲线yf(x)g(x)在x1处的切线方程为6x2y50，求实数a的值（Ⅱ）设h(x)f(x)g(x)，若对任意两个不相等的正数x1,x2，都有成立，求实数a的取值范围（Ⅲ）若在[1,e]上存在一点x0，使得f(x0)范围【答案】（Ⅰ）a2；（Ⅱ）a的取值范围为[1,)

'

h(x1)h(x2)

2恒x1x2

1'

g(x)g(x0)成立，求a的取值0'f(x0)e21

（Ⅲ）a的取值范围为(,2)(,)

e12722、已知函数f(x)lnxxx

（Ⅰ）证明：当a2时，关于x的不等式f(x)(

2

2

a

1)x2ax1恒成立22

（Ⅱ）若正实数x1,x2满足f(x1)f(x2)2f(x1x2)x1x20，证明：x1x2【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略51223、（2017天津）已知定义在R上的函数f(x)2x3x3x6xa在区间(1,2)内有一个零点x0，g(x)为f(x)的导函数（Ⅰ）求函数g(x)的单调区间（Ⅱ）设m[1,x0)(x0,2]，函数h(x)(mx0)g(x)f(m)，求证：h(m)h(x0)0【答案】（Ⅰ）g(x)的单调递增区间为(,1),(,)，单调递减区间为(1,)；（Ⅱ）略*432

14142810.4导数中的函数不等式放缩例：证明：（1）elnx2（1）ex1lnx2

x

x

（2）esinx1（2）ex1sinx1

x

x

24、已知f(x)e

x1

a(x1)(x1)，g(x)(x1)lnx

（Ⅰ）若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）若在（Ⅰ）的条件下，当a取最大值时，求证：f(x)g(x)【答案】（Ⅰ）a

1；2x1

（Ⅱ）f(x)g(x)e



x1

(x1)lnx,x12利用x1lnx放缩25、已知函数f(x)eax，曲线yf(x)在x1处的切线方程为ybx1（Ⅰ）求a,b的值（Ⅱ）求函数f(x)在[0,1]上的最大值（Ⅲ）证明：当x0时，e(1e)xxlnx10【答案】（Ⅰ）a1,be2；（Ⅱ）f(x)的最大值为f(1)e1（Ⅲ）略（*）x

x2

26、证明：e

x

15x2

282

x

【答案】直接构造（隐零点）；等价变形(54x)e80

2910.5导数中的卡根思想例1：已知函数f(x)lnx（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间12

ax(aR)2（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)(a1)x1恒成立，求整数a的最小值【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)在(0,)上单调递增；当a0时，f(x)在(0,（Ⅱ）2

aa)上单调递增，在(,)上单调递减；aa例2：已知函数f(x)xlnx，f(x)【答案】整数k的最大值3

'

k

恒成立，求整数k的最大值ln(x1)1例3：已知函数f(x)xxlnx，若kZ，(k2)(x2)f(x)对x2恒成立，求k的最大值【答案】k的最大值为6

3027、已知函数f(x)lnx，h(x)ax(aR)

（Ⅰ）函数f(x)的图像与h(x)的图像无公共点，求实数a的取值范围（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x(,)，都有函数yf(x)

12m

的图像在x

ex

g(x)的图像的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由x

（参考数据：ln20.6931,ln31.0986,【答案】（Ⅰ）a

3e1.3956）1；e（Ⅱ）m1

28、已知函数f(x)lnxaxbx，g(x)xeb，f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x

y2x1

（Ⅰ）求实数a,b的值（Ⅱ）求证：f(x)g(x)【答案】（Ⅰ）a1,b1；（Ⅱ）略3110.6洛必达法则应用29、已知函数f(x)最小值ln(x1)12

，若对任意的x0，f(x)kxx1恒成立，求k的x213【答案】k的最小值为30、已知函数f(x)(1kx)ln(x1)，若对任意的0x1，f(x)x恒成立，求k的取值范围【答案】k的取值范围为31、已知函数f(x)alnxxx（Ⅰ）当a0时，讨论f(x)的单调性（Ⅱ）当x1时，f(x)0恒成立，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）a

2

1

，f(x)在(0,)上单调递增8118a118a1

),(,)上单调递增，，f(x)在(,

844在(

0a

118a118a,)单调递减44（Ⅱ）a1

3210.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式32、（2017全国卷Ⅲ理21）已知函数f(x)x1alnx（Ⅰ）若f(x)0恒成立，求a的值（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，(1)(1【答案】（Ⅰ）a1

（Ⅱ）mmin3

1211)(1)m，求m的最小值222n33、已知函数f(x)(x1)lnxax2

（Ⅰ）当a1时，求函数f(x)在x1处的切线方程（Ⅱ）若函数f(x)在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围11111

...ln(n1),nN*3572n12【答案】（1）yx

（Ⅱ）a2

（Ⅲ）求证：（Ⅲ）略x22xa

34、已知函数f(x)ln(x1)，g(x)

x2（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间及最值（Ⅱ）若对x0,f(x)g(x)1恒成立，求a的取值范围（Ⅲ）求证：1111...ln(n1)(nN*)3572n1【答案】（Ⅰ）函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,)

其最大值为f(0)0，无最小值（Ⅱ）a2（Ⅲ）略3335、已知函数f(x)a(x1)lnx

（Ⅰ）若yf(x)在x2处取得极小值，求a的值（Ⅱ）若f(x)0在[1,)上恒成立，求a的取值范围2

1113n2n2

（Ⅲ）求证：...

ln2ln3lnn2n22n

【答案】（Ⅰ）a

1

81

（Ⅱ）a

2（Ⅲ）略36、已知函数f(x)ln(1ax)

2x

(a0)x21

时，求f(x)的极值21

（Ⅱ）若a(,1)，f(x)存在两个极值点x1,x2，试比较f(x1)f(x2)与f(0)的大小2n(n1)

n!(n2,nN)（Ⅲ）求证：2e（Ⅰ）当a

【答案】（Ⅰ）函数f(x)的极小值为f(2)ln21，无极大值（Ⅱ）f(x1)f(x2)f(0)（Ⅲ）略37、已知函数f(x)axlnxx1(xR)，且f(x)0（1）求a；（2）求证：当nN时，【答案】（Ⅰ）a1

（Ⅱ）略*

1111

...2ln22222n1n2n34n3410.8极值点偏移问题38、已知函数f(x)eax有两个零点x1,x2(x1x2)，则下面说法正确的是（（A）x1x22（C）x1x21【答案】D（B）ae

（D）有极小值点x0，且x1x22x0

x

）39、已知函数f(x)（Ⅰ）求证：0ae

a

lnx3有两个零点x1,x2(x1x2)x

2

（Ⅱ）求证：x1x22a【答案】略40、已知函数f(x)

12

ax(a1)xlnx,aR2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）证明：当x(0,1)时，f(1x)f(1x)

x1+x2)与0的大小，并证明你的结论211

【答案】（Ⅰ）a1时，函数f(x)在(0,),(1,)上递增，在(,1)上递减aa（Ⅲ）若函数f(x)有两个零点x1,x2，比较f(

'

a1时，函数f(x)在(0,)上递增11

1a0时，函数f(x)在(0,1),(,)上递增，在(1,)上递减aaa0时，函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减（Ⅱ）略（Ⅲ）f(

‘

x1x2)023541、设函数f(x)

12

x(a1)xalnx2x1x2)02（Ⅰ）讨论f(x)的单调性（Ⅱ）若f(x)b有两个不相等的实数根x1x2，求证：f(【答案】（Ⅰ）a0时，函数f(x)在R上递增'

a0时，函数f(x)在(0,a)上递减，在(a,)上递增（Ⅱ）略42、已知函数f(x)xln(xa)（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性（Ⅱ）若f(x)存在两个极值点x1,x2，求证：无论实数a取什么都有2

f(x1)f(x2)xx

f(12)22【答案】（Ⅰ）a2时，函数f(x)在(a,)上递增aa22aa22),(,)上递增，a2时，函数f(x)在(a,

22aa22aa22在(,)上递减22（Ⅱ）略43、已知函数f(x)

m1

lnx1的两个零点为x1,x2(x1x2)x2（Ⅰ）求实数m的取值范围（Ⅱ）求证：112x1x2e

e2【答案】（Ⅰ）0m

（Ⅱ）略3610.9多元变量消元思想44、已知函数f(x)ln

1

ax2x(a0)x

（Ⅰ）若f(x)是定义域上不单调的函数，求a的取值范围（Ⅱ）若f(x)在定义域上有两个极值点x1,x2，证明：f(x1)f(x2)32ln2【答案】（Ⅰ）0a

（Ⅱ）略1845、已知函数f(x)x1aln(1x)

（Ⅰ）若函数f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围（Ⅱ）若函数f(x)存在两个极值点x1,x2，且x1x2，证明：【答案】（Ⅰ）a

（Ⅱ）略2

f(x1)f(x2)

x2x1

1

246、已知函数f(x)lnx（Ⅰ）若曲线g(x)f(x)值a

1在点(2,f(2))处的切线与直线x2y10平行，求a的xb(x1)

在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；x1mnlnmlnn

（Ⅲ）若mn0，求证：mn2（Ⅱ）若h(x)f(x)【答案】（Ⅰ）a4

（Ⅱ）b2（Ⅲ）略3747、已知函数f(x)

axb

在点(1,f(1))处的切线方程为xy30x21（Ⅰ）求函数f(x)的解析式（Ⅱ）设g(x)lnx，当x[1,)时，求证：g(x)f(x)（Ⅲ）已知0ab，求证：【答案】（Ⅰ）f(x)

2x2x21lnblna2a

2baab2（Ⅱ）g(x)f(x)x1,xlnxlnx2x20（Ⅲ）略2

48、已知函数f(x)lnxmx(mR)（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间（Ⅱ）当m

3212

时，设g(x)f(x)x的两个极值点x1,x2(x1x2)恰为22x1x2)的最小值2h(x)2lnxaxx2的零点，求y(x1x2)h(

【答案】（Ⅰ）当m0时，函数f(x)在(0,)上递增当m0时，函数f(x)单调递增区间为(0,

（Ⅱ）2ln2

431)，m1

单调递减区间为(,)

m

3810.10导数解决含有lnx与e的证明题（凹凸反转）x

49、设函数f(x)lnxe

1x

,g(x)a(x21)

1x

（Ⅰ）判断函数yf(x)零点的个数，并说明理由exex

（Ⅱ）记h(x)g(x)f(x)，讨论h(x)的单调性xxe

（Ⅲ）若f(x)g(x)在(1,)恒成立，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）零点个数为1（Ⅱ）a0时，函数h(x)在(0,)上递增a0时，函数h(x)在(（Ⅲ）a

2a2a,)上递增，在(0,)上递减2a2a1

2x

2ex1

50、设函数f(x)elnx，证明：f(x)1

x【答案】f(x)1lnx

21x0exe

51、设函数f(x)【答案】略x11

(1xxlnx)f(x)1，证明：exe252、设函数f(x)lnx

a

xx1

x0在(0,)xe（Ⅰ）当a2时，求f(x)的极值（Ⅱ）当a1时，证明：f(x)

【答案】（Ⅰ）函数f(x)的极大值为f(2)ln3，无极小值（Ⅱ）略3910.11导数解决含三角函数式的证明53、已知函数f(x)sintanx2x（1）证明：函数f(x)在(（2）若x(0,

)，f(x)mx2，求m的取值范围2,)上单调递增22【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）m0

54、已知函数f(x)ln(ea)是实数集R上的奇函数，函数g(x)f(x)sinx是区间x

[1,1]上的减函数（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若g(x)tt1在x[1,1]及所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围2

（Ⅲ）讨论关于x的方程【答案】（Ⅰ）a0

（Ⅱ）t1

lnx

x22exm的根的个数f(x)（Ⅲ）当me

1

时，方程无解e12

当me时，方程有一个根e12

当me时，方程有2个根e

22

55、已知函数f(x)ax2xbcosx在点P(（Ⅰ）求a,b的值3,f())处的切线方程为y224x1x2)02（Ⅱ）若f(x1)f(x2)，且0x1x2，求证：f(

'

（参考公式：coscos2sin【答案】（Ⅰ）a

1

sin）22,b1

（Ⅱ）略40x2

56、设f(x)cosx1

2（Ⅰ）求证：当x0时，f(x)0（Ⅱ）若不等式e

ax

sinxcosx2对任意的x0恒成立，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）a1

57、已知函数f(x)esinx（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间x

]，f(x)kx恒成立，求实数k的取值范围2201520171x

,]，,0)作函数F(x)（Ⅲ）函数F(x)f(x)ecosx,x[过点M(222（Ⅱ）如果对于任意的x[0,

的图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{xn}，求数列{xn}的所有项之和S的值【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为[2k

3,2k](kZ)，4437,2k](kZ)单调递减区间为[2k44（Ⅱ）k1

（Ⅲ）S100858、已知f(x)sinxcosxax

,]上单调，求实数a的取值范围222

（Ⅱ）证明：当a时，f(x)1在[0,]上恒成立（Ⅰ）若f(x)在[

【答案】（Ⅰ）a的取值范围为(,1][2,)，（Ⅱ）略4110.12隐零点问题59、设函数fxeax2.x（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）若a1，k为整数，且当x0时，xkfxx10，求k的最大值.【答案】（Ⅰ）当a0时，f(x)单调递增区间为(,)

当a0时，f(x)的单调递增区间为(lna,)，单调递减区间为(,lna)

（Ⅱ）2

60、已知函数fxelnxm.x(Ⅰ)设x0是fx的极值点，求m,并讨论fx的单调性；(Ⅱ)当m2时，证明fx0.【答案】（Ⅰ）m1

f(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(1,0)

（Ⅱ）m,f(x)0eln(xm)eln(x2)0

x

x

61、已知函数fx(Ⅱ)证明：fx2

(Ι)求实数a的取值范围；23

xx2ax1在1,0上有两个极值点x1、x2，且x1x2.311.12【答案】（Ⅰ）0a

12432x2x213（Ⅱ）f(x2)

4262、已知aR，函数fxeax；gx是fx的导函数.x2（Ⅰ）当a

1

时，求函数fx的单调区间；21

,0，使得gx00；2a

（Ⅱ）当a0时，求证：存在唯一的x0

（Ⅲ）若存在实数a,b，使得fxb恒成立，求ab的最小值.【答案】（Ⅰ）当a

1

时，f(x)单调递增区间为(,)21e（Ⅱ）略（Ⅲ）(ab)min

63、已知函数fx2xalnxx2ax2aa，其中a0.22（Ⅰ）设gx是fx的导函数，讨论gx的单调性；（Ⅱ）证明：存在a0,1，使得fx0在区间1,内恒成立，且fx0在区间1,内有唯一解.【答案】（Ⅰ）当a

1

时，g(x)单调递增区间为(0,)4114a114a1

),(,)时，g(x)的单调递增区间为(0,

422单调递减区间为(

当0a

114a114a,)22（Ⅱ）略4310.13端点效应、（2007全国Ⅰ卷理）设函数f(x)ee取值范围【答案】a的取值范围为a2

x

x

，若对所有x0，都有f(x)ax，求a的65、（2012天津理）设函数f(x)xln(x1)，若对任意的x0，有f(x)kx，求实数k的最小值【答案】k的最小值为2

1266、（2012大纲理）设函数f(x)axcosx,x[0,]，设f(x)1sinx，求a的取值范围【答案】a的取值范围为a

2

67、（2016全国Ⅱ卷文）已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)，若对x(1,)时，f(x)0，求a的取值范围【答案】a的取值范围为a2

4410.14其它省市高考导数真题研究（2008江西理22）已知函数f(x)（Ⅰ）当a8时，求f(x)的单调区间（Ⅱ）对于任意正数a，证明：1f(x)2

【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)

（Ⅱ）略11x11aax,x(0,)ax8（2008辽宁理22）设函数f(x)（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值lnx

lnxln(x1)1x

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,)？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)

f(x)的极大值为f(1)ln2，无极小值（Ⅱ）a0

45（2014湖北卷理22）是圆周率，e2.71828...为自然对数的底数（Ⅰ）求函数f(x)

3

e

lnx

的单调区间xe

（Ⅱ）求e,3,e,,3,这6个数中最大数和最小数3

（Ⅲ）将e,3,e,,3,这6个按从小到大的顺序排列，并证明你的结论3ee3

【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)

（Ⅱ）最大的数为3，最小的数为3（Ⅲ）3ee3

e

3

e

3

e

（2014湖南卷理22）已知常数a0，函数f(x)ln(1ax)（Ⅰ）讨论f(x)在区间(0,)上的单调性2xx2（Ⅱ）若f(x)存在两个极值点x1,x2，且f(x1)f(x2)0，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）当a1时，f(x)单在(0,)单调递增；当0a1时，f(x)的单调递增区间为(2a(1a),)a2a(1a))a单调递减区间为(0,（Ⅱ）(,1)

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